没蜡笔的小新
我们上学的时候都学过，我国的海岸线全长一万八千余公里(北起鸭绿江口,南止北仓河口)。这个长度是以1公里长的标尺测量得到的。然而如果我们采用短些的标尺,例如1 厘米长的标尺,则测得海岸线长度为万公里,这是地理书上给出长度的212倍。为什么呢？ 原因是由于港湾海角的存在,海岸线是相当的曲折,用大的标尺去测量会忽略掉其很多的弯曲的细节。海岸线的长度与测量单位有关，以1km为 单位测量海岸线，就会将短于1km的迁回曲折长度忽略掉;若以1m为单位测量，则能测出被忽略掉的迁回曲折，长度将变大;若测量单位进一步地变小，测得的长度就会愈来愈大，这些愈来愈大的长度将趋近于一一个确定值，这就是海岸线的长度。 其实早在1967年Mandelbrot就提出“英国的海岸线有多长?”的问题Mandelbrot发现:当测量单位变小时，所得的长度是无限增大的。他认为海岸线的长度是不确定的，或者说，在一定意义上海岸线是无限长的。这就是因为海岸线是极不规则和极不光滑的。 在自然界中，几乎没有什么东西是平缓的，大多数事物都是有皱褶的、不规则的、细圆齿状的，通常都以一种自相似的形式存在。想想森林、山脉、蔬菜、云和海洋表面。由此看来，大多数自然物体都没有绝对的客观长度，在陈述测量结果时，很重要的一点是分辨率是多少。 人类在设计和制造人类工程学产品时，无论是原始的罐子和工具，还是现代化的复杂汽车、计算机和摩天大楼。我们都使用并且追求直线、平滑曲线和平滑表面的简单性。量化测量的发展及数学的发明，尤其是欧几里得几何的理想化范式，完美地展现了这一点。 在这个人工制品的新世界中，我们不可避免地习惯于通过蒙蔽我们的欧几里得几何(直线、平滑曲线和平滑表面)的滤镜观察世界。但是，自然界大多数的图形都是十分复杂而且不规则的。例如：海岸线、山形、河川、岩石、树木、森林、云团、闪电、海浪等等，用欧几里德几何学是无能为力的。 复杂科学认为，客观世界是高度复杂的，而且被褶皱、波纹和小褶皱主导。正Mandelbrot简单明了地概述:“平缓的形状在野外很少见，但在象牙塔和工厂中极为重要。” 所以科学家们认为“世界在本质上是非线性的”。在非线性世界里，随机性和复杂性是其主要特征，但同时，在这些极其复杂的现象背后，存在着某种规律性。 产生于上世纪70年代的分形理论使人们能以新的观念、新的手段来处理这些难题，透过扑朔迷离的无序的混乱现象和不规则的形态，揭示隐藏在复杂现象背后的规律、局部和整体之间的本质联系。 分形是一门新的学科，它的历史很短，目前正处在发展之中，它涉及面广但还不够成熟，然而分形理论具有强大的生命力。世界上1257种学术刊物在80年代后期发表的论文中,与分形有关的占据。从发表论文来看，所涉及的领域包括哲学、物理、化学、材料化学、电子技术、表面科学、计算机科学、生物学、医学、农学、天文学、气象学、地质学、地理学、城市规划学、地震学、经济学、历史学、人口学、情报学、商品学、电影美学、思维、音乐、艺术等。 1 、分形的定义 ：部分以某种形式与整体相似的形状叫分形。（Mandelbrot） 所以, 一般地可把“分形”看作大小碎片聚集的状态，是没有特征长度的图形和构造以及现象的总称。描述分形的几何，称为分形几何。 分形几何也是目前最前沿的学科。 我们知道，经典几何研究规则图形，平面解析几何研究一次和二次曲线，微分几何研究光滑的曲线和曲面，分形几何是研究自然界大量存在的不规则形体。 伟大的数学家美籍华人陈省身认为几何学可分为以下阶段: 第一阶段：公理(欧几里德) ; 第二阶段：坐标(笛卡尔、费马) ; 第三阶段：微积分(牛顿 菜布尼兹) ; 第四阶段：群(克莱因、李) 第五阶段：流形(黎曼) ; 第六阶段：纤维丛(嘉当、惠特尼)。 第七阶段：分形几何(曼德勃罗特) 所以分形几何是二十一世纪的几何。 2 、分形的提出者：Mandelbrot 分形这个名词是由曼德勃罗特在1975年首次提出（创造）的，其原义是“不规则的，分数的，支离破碎的”物体。曼德勃罗特是美国IBM公司沃特森研究中心自然科学部高级研究员，哈佛大学应用数学兼职教授，美国国家科学院院士。曾先后在哈佛大学教过经济学，在耶鲁大学教过工程学，在爱因斯坦医学院教过生理学。研究领域横跨数学、物理学、地学、经济学、生理学、计算机、天文学、情报学、信息与通讯、城市与人口、哲学与艺术等众多学科与专业，是一位真正的跨学科的博学家。正是这些不同学科或问题的杂交，才结出一个完全新颖的果实一一分形理论。他出版的专著《自然界的分形几何学》，代表着分形理论初步形成。 1 、自相似性 分形具有“粗糙和自相似”的直观特点。一个系统的自相似性是指某种结构或过程的特征从不同的空间尺度或时间尺度来看都是相似的，或者某系统或结构的局域性质或局域结构与整体类似。另外，在整体与整体之间或部分与部分之间，也会存在自相似性。一般情况下自相似性有比较复杂的表现形式，而不是局域放大一定倍数以后简单地和整体完全重合。例如菜花、树叶等。 人们在观察和研究自然界的过程中，认识到自相似性可以存在于物理、化学、天文学、生物学、材料科学、经济学，以及社会科学等众多的科学之中，是自然界普遍的规律之一。下面举几个例子来说明自相似性。太阳系的构造与原子的结构作一对比，就会发现这两个系统在某些方面具有惊人的相似。虽然这两个系统在自然界中尺度相差如此悬殊，但它们物质系统之间存在着自相似的性质。物质系统之间的自相似性在生物界也广泛地存在着。以人为例，人是由类人猿进化到一定程度的产物，解剖学研究表明，人体中的大脑、神经系统、血管、呼吸系统、消化系统等在结构上都具有高度的自相似性。一棵大树由许多树枝和树叶组成，若把一根树枝与该棵大树相比，在构成形式上完全相似。又会发现该树枝上分叉长出来的更小的细枝条，仍具有大树构成的特点。当然，这只能是在一定尺度上呈现相似性，不会无限扩展下去。另外，树枝与树枝之间，树叶与树叶之间，也呈现出明显的自相似性。再仔细观察树叶的叶脉，也可以发现类似的自相似结构。佛说：一沙一世界，一花一天堂；袖里有乾坤，壶中有日月； 在每一粒灰尘中都呈现出无数的佛。《易经》认为:“无极生两仪，俩仪生四象，四象生八卦。《道德经》认为：道生一、一生二、二生三、三生万物、以今天分形几何的观点来看，古人的思想里包含有自相似概念。 2 、标度不变性 所谓标度不变性，是指在分形上任选一局部区域，对它进行放大，这时得到的放大图形又会显示出原图的形态特性。因此,对于分形，不论将其放大或缩小，它的形态、复杂程度、不规则性等各种特点均不会变化。所以标度不变性又称为伸缩对称性。通俗一点说，如果用放大镜来观察一个分形，不管放大倍数如何变化，看到的情形是一样的，从观察到的图象，无法判断所用放大镜的倍数。 自相似性与标度不变性是密切相关的。自相似性和标度不变性是分形的两个重要特性。 分形理论是一个交叉性的横断学科，从振动力学到流体力学、天文学和计算机图形学，从分子生物学到生理学、生物形态学，从材料科学到地球科学、地理科学，从经济学到语言学、社会学等等，无不闪现着分形的身影。 美国著名物理学家惠勒说过：今后谁不熟悉分形，谁就不能称为科学的文化人。说明了分形理论的巨大科学价值。下面从哲学、经济等几个维度阐述一下分形理论的应用。 1 、哲学 （1）整体与部分 分形理论打破了整体与部分之间的隔膜，找到了部分过渡到整体的媒介和桥梁即整体与部分之间的相似。从认识事物的途径或思考问题的方法来看，分形论与系统论分别体现了从两个端点出发的思路。它们之间的互补，恰好完整地、全面地体现了辩证的思维方法。系统论由整体出发来确立各个部分的系统性质，它沿着从宏观到微观的方向考察整体与部分之间的相关性。而分形论则由部分出发来确立整体的性质，沿着微观到宏观的方向考察部分与整体之间的相似性。也就是说，系统论强调了部分依赖于整体的性质，体现了从整体出发认识部分的方法，分形论强调了整体依赖于部分的性质，体现了从部分出发认识整体的方法。于是，两者构成的互补，即系统论和分形论相互辉映，极大地提高了人类对自然界认识的能力。 分形论作为认识世界的一新方法，不仅在于从整体与部分之间的信息“同构”中，找到了从部分过渡到整体的媒介和桥梁，为人们从部分中认识整体、从有限中认识无限提供了可能和根据，而且分形论的提出使人们对整体与部分关系的认识方法、思维方法由线性阶梯进展到非线性阶梯，揭示了它们之间多层面、多视角、多维度的联系方式。 （2）生成论和构成论的自然观 自然观与自然科学的发展紧密联系，任何关于自然界的科学理论，原则上都可以成为建立某种自然观的根据，并形成一种研究纲领。例如，随着物理学的发展出现过以牛顿力学为基础的力学世界图景、以热力学为基础的能学世界图景、以电磁学为基础的电磁世界图景以及基本相互作用统一的物理世界图景，随着生物学的发展出现进化世界图景，随着非平衡态热力学的发展出现自组织世界图像。分形几何作为描述复杂自然形态及其生成机制的有力工具，又为人类建构新的自然图景提供了新的科学根据，形成一种新的自然图景。 分形理论已经对自然观产生强烈影响，从分形的观点看世界，我们发现，这个世界是以分形的方式存在和演化着的世界。 在人类探索宇宙的本原之始，就存在着事物是由本原生成的还是由本原构成的争论。生成论认为事物是由本原生成的，它的变化是“产生”、“消亡”或“转化”；构成论认为事物是由本原构成的，它的变化是要素之间的结合或分离。构成论思想产生于古代希腊的原子论，深深地影响着科学家的思维。构成论认为自然界的一切事物都归结为基本粒子的结合或分离。这种思考和分析问题的方法推动了科学技术的进步，取得一系列成果，诸如汽车、电视机、电脑等产品给人类的生活带来了许多方便和舒适。但是，根据构成论思想，把一个东西不断分割下去，以便给出一切问题的解答，遇到很大困难。所以科学家们开始转向生成论。宇宙的演化、生物的进化、思维的形成无不表现为一个生成的过程，这一切无不支持生成论，但因其缺乏理论支持，而未能被科学界普遍接受。分形生成过程的迭代性(或递归性)为生成论自然观提供了理论根据，而且分形几何已经证明，任何复杂的事物形态原则上都可以通过迭代法生成。 2 、经济学 股票价格变动图因价格涨落得非常厉害，而且完全是随机的，因此使人感到几乎无规律可循。但若从统计学观点解析这一变动，就会发现有很好的规律。Mandelbrot发现下面两个法则： ⑴每个单位时间内的股票价格变动分布，服从特性指数D≈的对称稳定分布。 ⑵单位时间不论取多大或多小，其分布也是相似的。也就是说，适当地改变尺度，就可成为同样的分布。 因此，我们可以从分形的角度去思考股票价格的波动，虽然不能够帮助我们预测未来，但为我们提供了一个分析维度。 3 、其他领域（音乐、艺术、图形压缩等） 著名的电影“星球大战”就是利用分形技术创作的。由于分形的最重要特征是自相似性，所以信息科学家对其情有独钟，分形图像压缩被认为最具前景的图像压缩技术之一，分形图形学被认为是描绘大自然景色最诱人的方法。 分形音乐是利用分形理论来建构一些带有自相似小段的合成音乐，由一个算法的多重迭代产生的，主题在带有小调的三番五次的返复循环中重复，在节奏方面可以加上一些随机变化，它所创造的效果，无论在宏观上还是在微观上都能逼真地模仿真正的音乐。 总结 分形理论是一门重要的新学科，它的历史很短，但是卷入分形狂潮的除数学家和物理学家外，还有化学家、生物学家、地貌学与地震学家、材料学家等，在社会科学与人文科学方面，大批哲学家、经济学家、金融学家乃至作家画家和电影制作家都蜂拥而入。分形理论正处于发展之中，它涉及面广但还不够成熟，对它争论也不少，但是由于已被广泛应用到自然科学和社会科学的几乎所有领域，所以成为当今国际上许多学科的前沿研究课题之一。 参考文献： 分形的哲学漫步——林夏水 分形理论的科学和哲学意义——张国祺 获取50个思维模型、加入大群讨论，参与刻意讨论小组 微信公众号 模型思维
漫山红遍
分形理论是当今世界十分风靡和活跃的新理论、新学科。分形的概念是美籍数学家曼德布罗特()首先提出的。1967年他在美国权威的《科学》杂志上发表了题为《英国的海岸线有多长?》的著名论文。海岸线作为曲线,其特征是极不规则、极不光滑的,呈现极其蜿蜒复杂的变化。我们不能从形状和结构上区分这部分海岸与那部分海岸有什么本质的不同,这种几乎同样程度的不规则性和复杂性,说明海岸线在形貌上是自相似的,也就是局部形态和整体形态的相似。在没有建筑物或其他东西作为参照物时,在空中拍摄的100公里长的海岸线与放大了的10公里长海岸线的两张照片,看上去会十分相似。事实上,具有自相似性的形态广泛存在于自然界中,如:连绵的山川、飘浮的云朵、岩石的断裂口、布朗粒子运动的轨迹、树冠、花菜、大脑皮层……曼德布罗特把这些部分与整体以某种方式相似的形体称为分形(fractal)。1975年,他创立了分形几何学(fractalgeometry)。在此基础上,形成了研究分形性质及其应用的科学,称为分形理论(fractaltheory)。自相似原则和迭代生成原则是分形理论的重要原则。它表征分形在通常的几何变换下具有不变性,即标度无关性。由自相似性是从不同尺度的对称出发,也就意味着递归。分形形体中的自相似性可以是完全相同,也可以是统计意义上的相似。标准的自相似分形是数学上的抽象,迭代生成无限精细的结构,如科契(Koch)雪花曲线、谢尔宾斯基(Sierpinski)地毯曲线等。这种有规分形只是少数,绝大部分分形是统计意义上的无规分形。分维,作为分形的定量表征和基本参数,是分形理论的又一重要原则。分维,又称分形维或分数维,通常用分数或带小数点的数表示。长期以来人们习惯于将点定义为零维,直线为一维,平面为二维,空间为三维,爱因斯坦在相对论中引入时间维,就形成四维时空。对某一问题给予多方面的考虑,可建立高维空间,但都是整数维。在数学上,把欧氏空间的几何对象连续地拉伸、压缩、扭曲,维数也不变,这就是拓扑维数。然而,这种传统的维数观受到了挑战。曼德布罗特曾描述过一个绳球的维数:从很远的距离观察这个绳球,可看作一点(零维);从较近的距离观察,它充满了一个球形空间(三维);再近一些,就看到了绳子(一维);再向微观深入,绳子又变成了三维的柱,三维的柱又可分解成一维的纤维。那么,介于这些观察点之间的中间状态又如何呢?显然,并没有绳球从三维对象变成一维对象的确切界限。数学家豪斯道夫(Hausdoff)在1919年提出了连续空间的概念,也就是空间维数是可以连续变化的,它可以是整数也可以是分数,称为豪斯道夫维数。记作Df,一般的表达式为:K=LDf,也作K=(1/L)-Df,取对数并整理得Df=lnK/lnL,其中L为某客体沿其每个独立方向皆扩大的倍数,K为得到的新客体是原客体的倍数。显然,Df在一般情况下是一个分数。因此,曼德布罗特也把分形定义为豪斯道夫维数大于或等于拓扑维数的集合。英国的海岸线为什么测不准?因为欧氏一维测度与海岸线的维数不一致。根据曼德布罗特的计算,英国海岸线的维数为。有了分维,海岸线的长度就确定了。分形理论既是非线性科学的前沿和重要分支,又是一门新兴的横断学科。作为一种方法论和认识论,其启示是多方面的:一是分形整体与局部形态的相似,启发人们通过认识部分来认识整体,从有限中认识无限;二是分形揭示了介于整体与部分、有序与无序、复杂与简单之间的新形态、新秩序;三是分形从一特定层面揭示了世界普遍联系和统一的图景。=============================================分形理论及其发展历程被誉为大自然的几何学的分形（Fractal）理论，是现代数学的一个新分支，但其本质却是一种新的世界观和方法论。它与动力系统的混沌理论交叉结合，相辅相成。它承认世界的局部可能在一定条件下。过程中，在某一方面（形态，结构，信息，功能，时间，能量等）表现出与整体的相似性，它承认空间维数的变化既可以是离散的也可以是连续的，因而拓展了视野。分形几何的概念是美籍法国数学家曼德尔布罗特（）1975年首先提出的，但最早的工作可追朔到1875年，德国数学家维尔斯特拉斯（）构造了处处连续但处处不可微的函数，集合论创始人康托（，德国数学家）构造了有许多奇异性质的三分康托集。1890年，意大利数学家皮亚诺（）构造了填充空间的曲线。1904年，瑞典数学家科赫（ Koch）设计出类似雪花和岛屿边缘的一类曲线。1915年，波兰数学家谢尔宾斯基（）设计了象地毯和海绵一样的几何图形。这些都是为解决分析与拓朴学中的问题而提出的反例，但它们正是分形几何思想的源泉。1910年，德国数学家豪斯道夫（）开始了奇异集合性质与量的研究，提出分数维概念。1928年布利干（）将闵可夫斯基容度应用于非整数维，由此能将螺线作很好的分类。1932年庞特里亚金（）等引入盒维数。1934年，贝塞考维奇（）更深刻地提示了豪斯道夫测度的性质和奇异集的分数维，他在豪斯道夫测度及其几何的研究领域中作出了主要贡献，从而产生了豪斯道夫-贝塞考维奇维数概念。以后，这一领域的研究工作没有引起更多人的注意，先驱们的工作只是作为分析与拓扑学教科书中的反例而流传开来。二1960年，曼德尔布罗特在研究棉价变化的长期性态时，发现了价格在大小尺度间的对称性。同年在研究信号的传输误差时，发现误差传输与无误差传输在时间上按康托集排列。在对尼罗河水位和英国海岸线的数学分析中，发现类似规律。他总结自然界中很多现象从标度变换角度表现出的对称性。他将这类集合称作自相似集，其严格定义可由相似映射给出。他认为，欧氏测度不能刻划这类集的本质，转向维数的研究，发现维数是尺度变换下的不变量，主张用维数来刻划这类集合。1975年，曼德尔布罗特用法文出版了分形几何第一部著作《分形：形状、机遇和维数》。1977年该书再次用英文出版。它集中了1975年以前曼德尔布罗特关于分形几何的主要思想，它将分形定义为豪斯道夫维数严格大于其拓朴维数的集合，总结了根据自相似性计算实验维数的方法，由于相似维数只对严格自相似这一小类集有意义，豪斯道夫维数虽然广泛，但在很多情形下难以用计算方法求得，因此分形几何的应用受到局限。1982年，曼德尔布罗特的新著《自然界的分形几何》出版，将分形定义为局部以某种方式与整体相似的集，重新讨论盒维数，它比豪斯道夫维数容易计算，但是稠密可列集盒维数与集所在空间维数相等。为避免这一缺陷，1982年特里科特（）引入填充维数，1983年格拉斯伯格（）和普罗克西娅（）提出根据观测记录的时间数据列直接计算动力系统吸引子维数的算法。1985年，曼德尔布罗特提出并研究自然界中广泛存在的自仿射集，它包括自相似集并可通过仿射映射严格定义。1982年德金（）研究递归集，这类分形集由迭代过程和嵌入方法生成，范围更广泛，但维数研究非常困难。德金获得维数上界。1989年，钟红柳等人解决了德金猜想，确定了一大类递归集的维数。随着分形理论的发展和维数计算方法的逐步提出与改进，1982年以后，分形理论逐渐在很多领域得到应用并越来越广泛。建立简便盛行的维数计算方法，以满足应用发展的需要，还是一项艰巨的任务。自然界中的分形，与概率统计、随机过程关系密切。确定性的古典分形集加入随机性，就会产生出随机康托集、随机科契曲线等各种随机分形。1968年，曼德尔布罗特研究布朗运动这一随机过程时，将其推广到与分形有关的分数布朗运动。1974年他又提出了分形渗流模型。1988年，柴叶斯（）给出了详细的数学分析。1984年，扎乐（）通过随机删除而得到十分有趣的分形构造，随机分形能更真实地描述和模拟自然现象。三动力系统中的分形集是近年分形几何中最活跃和引人入胜的一个研究领域。动力系统的奇异吸引子通常都是分形集，它们产生于非线性函数的迭代和非线性微分方程中。1963年，气象学家洛伦兹（）在研究流体的对流运动时，发现了以他的名字命名的第一个奇异吸引子，它是一个典型的分形集。1976年，法国天文学家伊侬（）考虑标准二次映射迭代系统时获得伊侬吸引子。它具有某种自相似性和分形性质。1986年劳威尔（）将斯梅尔的马蹄映射变形成劳威尔映射，其迭代下不稳定流形的极限集成为典型的奇异吸引子，它与水平线的截面为康托集。1985年，格雷波基（）等构造了一个二维迭代函数系统，其吸附界是维尔斯特拉斯函数，并得到盒维数。1985年，迈克多纳（）和格雷波基等得到分形吸附界的三种类型：（1） 局部不连通的分形集；（2） 局部连通的分形拟圆周；（3） 既不局部连能又不是拟圆周。前两者具有拟自相似性。动力系统中另一类分形集来源于复平面上解析映射的迭代。朱利亚（）和法图（）于1918-1919年间开创这一研究。他们发现，解析映射的迭代把复平面划分成两部分，一部分为法图集，另一部分为朱利亚集（J集）。他们在处理这一问题时还没有计算机，完全依赖于他们自身固有的想象力，因此他们的智力成就受到局限。随后50年间，这方面的研究没有得到什么进展。随着可用机算机来做实验，这一研究课题才又获得生机。1980年，曼德尔布罗特用计算机绘出用他名字命名的曼德尔布罗特集（M集）的第一张图来。1982道迪（）构造了含参二次复映射fc ，其朱利亚集J（fc）随参数C的变化呈现各种各样的分形图象，著名的有道迪免子，圣马科吸引子等。同年，茹厄勒（）得到J集与映射系数的关系，解新局面了解析映射击集豪斯道夫维数的计算问题。茄勒特（）得到J（fc）集豪斯道夫维数的数值解法。1983年，韦当（）进一步推广了部分结果 。法图1926年就就开始整函数迭代的研究。1981年密休威茨（）证明指数映射的J集为复平面，解决了法图提出的问题，引起研究者极大兴趣。发现超越整函数的J集与有理映射J的性质差异，1984年德万尼（）证明指数映射Eλ的J（Eλ）集是康托束或复平面而J（fc）是康托尘或连通集。复平面上使J（fc）成为连通集的点C组成M集即曼德尔布罗特集，尤更斯（）和培特根（）认为，M集的性质过去一直是并且将来继续是数学研究的一个巨大难题。通过将数学理论与计算机图形学实验加以融合，及道迪、扈巴德（）等人在这方面进行的基础性研究工作，在解决这一难题方面已取得重大进展，使人们加深了对M集的了解。道迪和扈巴德1982年证明M集是连通的和单连通的，人们猜测M集是局部连通的，目前每一张计算机图形都证实了这一猜测，但至今还没有人能给予证明。M是否为弧连通，目前尚不清楚。M集边界的维数也是值得研究的问题之一。M集除了将J集分成连通与非连通的两类之外，还起着无穷个J集的图解目录表作用，即把M集C点周围的图形放大就是与C点有关的J集的组成部分。但这一发现的数学密性至今仍未确定，谭磊（Tan Lei）1985年证明了在每一个密休威茨点邻近M集与相关的J集之间存在着相似性。尤金斯等在M集的静电位研究中获得与自然形貌相似的分形图象。目前包括尤金斯等在内的很多研究人员都致力于借助计算机活动录象探索M集。其它一些分形集的研究工作正在取得进展。1990年德万尼通过数值实验观察到M集的复杂图形由许多不同周期的周期轨道的稳定区域共同构成。1991年黄永念运用他提出的代数分析法证明了这一事实，研究了M集及其广义情况周期轨道整体解析特性。巴斯莱（）和德门科（）1985年引入迭代函数系统，J集及其其它很多分形集都是某些迭代函数的吸引集，用其它方法产生的分形集也可用迭代函数系逼近。1988年，劳威尔通过数值研究发现毕达哥拉斯树花是一迭代函数系的J集。1985年巴斯莱等研究含参数的函数系迭代动力系统，得到M集D并D与M在连通性上的差异。在一线性映射系迭代下，可以产生著名的分形曲线——双生龙曲线。1986年水谷（）等对其动力系统进行了研究。一般动力系统中的分形集，其豪斯道夫维数dH难以通过理论方法或计算方法求得。对于有迭式构造的分形集，贝德浮德（）等在1986年已给出卓有成效的算法，但对一般非线性映射迭代动力系统产生的分形集，这些结果都难以应用，其豪斯道夫维数dH的结论与算法实际上没有。卡普兰（）和约克（） 1979年引入李雅普洛夫维数dL并猜测dL=dH。1981年勒拉皮尔证明dH≤dL。杨（）1982年证明二维情况下dH=dL。艾茄瓦（）等1986年给出例子说明高维情形卡普兰-约克猜测不成立。这一猜测力图从动力学特征推断几何结构，其反问题是由吸引子维数推断混沌力学，这是值得研究的问题。但目前工作甚少且主要限于计算机研究。此外，含参动力系统在混沌临界态或突变处的分形集维数也有待进一步研究。多重分形（multifractals）是与动力系统奇异吸引子有关的另一类重要分形集，其概念首先由曼德布罗特和伦依（）引入。法默（）等在1983年定义了多重分形广义维数。1988年博尔（）等人将拓扑熵引入多重分形的动力学描述与热力学类比。1988年，阿内多（）等人将子波变换用于多重分形研究。费德（）、特尔（）等人进行了多重分形子集及标度指数的研究。阿姆特里卡等研究了多重分形的逆问题，提出广义配分函数，给出广义超越维数，对过去的维数进行了修正。李（）等发现了多重分形热力学形式上的相变。1990年，伯克（）得到广义维数的上下界和极限并研究了多重分形的均匀性量度。曼德布罗特研究了随机多重分形及负分维。1991年科维克（）等引入双变量迭代系统，最大特征值和吉布斯势导出维数、熵、李雅普洛夫指数，提供了对多重分形相变分类的一般方案。对于多重分形相变分类的一般方案。对于多重分形目前虽已提出不少处理方法，但从数学的观点上看，还不够严格，部分问题的数学处理难度也较大。四分形理论真正发展起来才十余年，并且方兴未艾，很多方面的理论还有待进一步研究。值得注意的是，近年分形理论的应用发展远远超过了理论的发展，并且给分形的数学理论提出了更新更高的要求。各种分形维数计算方法和实验方法的建立、改进和完善，使之理论简便，可操作性强，是应用分形的科学家们普遍关注的问题。而在理论研究上，维数的理论计算、估计、分形重构（即求一动力系统，使其吸引集为给定分形集）、J集和M集及其推广形式的性质、动力学特征及维数研究将会成为数学工作者们十分活跃的研究领域。多重分形理论的完善、严格以及如何用这些理论来解决实际问题可能会引起科学家们广泛的兴趣，而动力学特征、相变和子波变换可能会成为其中的几个热点。在哲学方面，人们的兴趣在于自相似性的普适性，M集和J集表现出的简单性与复杂性，复数与实数的统一性，多重分形相变与突变论的关系，自组织临界（SOC）现象的刻画以及分形体系内部的各种矛盾的转化等。可以预言，一场关于分形科学哲学问题的讨论即将在国内展开。======================================分形理论与波动理论研究迷人的分形理论控制了金融市场分形理论与化学工程中的应用分形理论在城市研究中的应用分形理论及其在水处理工程中的应用分形理论对教育研究的方法论启示
晓晓彤儿
基于分形理论对混凝土孔结构的初步认识摘要：混凝土内部的孔结构非常复杂，为了提高分析的有效性，深入地分析了分形理论在其中的应用。首先，对分形理论的基本原理进行概述；其次，研究了混凝土的孔结构形成原理，并且讨论了其分类方法；然后，探究了混凝土孔结构的分形特征，并且构建了相应的分形模型；最后，研究了混凝土孔结构的分形维数和混凝土性能参数之间的关系，分析结果表明利用分形理论研究混凝土孔结构性能是切实可行的。关键词：分形理论；混凝土孔结构；性能1.绪论硬化后的混凝土结构属于一种复合材料体系，具有多相、非均质和多层次的特征。从宏观上看，混凝土具有不规则性、非线性以及不确定性等特征。从微观上看，混凝土具结构非常复杂。混凝土的宏观和微观特征直接影响着其力学性能和使用性能。为了能够深入分析混凝土孔结构对其性能的影响，对其复杂性进行定量描述，应该寻求一种行之有效的方法。分形理论是一门新兴科学，可以用于描述物质的复杂性和不规则性，因此，分形理论在混凝土孔结构的应用是切实可行的[1]。混凝土孔结构的细观研究受到了科学家的普遍关注，大量相关研究表明，混凝土的孔结构特征对混凝土材料的气密性、抗渗性、抗冻性、抗腐蚀性等物理性能以及强度、刚度、韧性等力学性能有着重要的影响。孔结构研究主要包括：孔隙率、孔径分布和孔几何学。在国际上大部分混凝土研究学者更是将孔结构当作水泥石中的一个关键组成部分，为了能够深入地研究混凝土孔隙的分形特点，基于分形理论分析混凝土结构的形成条件以及孔结构的分形特征，特别是冻融循环以后的混凝土孔隙分形特点，具有较为重要的理论价值和应用意义。2. 分形的基本理论3. 混凝土的孔结构形成原理及分类4. 混凝土孔结构的分形维数5. 结论混凝土孔结构具有显著的分形特征，可以利用分形理论分析混凝土孔结构的特征。分形维数是混凝土孔结构重要的参数，随着分形维数的增加，混凝土孔隙结构的不规则性和模糊性相应的增加。利用分形理论研究混凝土的宏观性能具有较为重要的研究价值。参考文献：[1] 唐明, 李晓. 多种因素对混凝土孔结构分形特征的影响研究[J]. 沈阳建筑大学学报：自然科学版, 2005, 21(3):232-237.[2] 王东生, 曹磊. 混沌、分形及其应用[M]. 合肥：中国科学技术大学出版社，1995. [3] 刘代俊. 分形理论在化学工程中的应用[M]. 北京: 化学工业出版社, 2006.[4] 喻乐华, 欧辉, 段庆普. 掺珍珠岩水泥石孔分形维数及其与孔结构、强度的关系[J]. 材料科学与工程学报, 2007, 25(2): 201-204.[5] 韦江雄, 余其俊, 曾小星, 等. 混凝土中孔结构的分形维数研究[J]. 华南理工大学学报：自然科学版, 2007, 35(2):121-124.[6] 唐明. 混凝土材料分形特征及应用研究[D]．哈尔滨: 哈尔滨工业大学材料科学与工程学院, 2003.[7] 郑瑛, 周英彪, 郑楚光. 多孔CaO孔隙结构的分形描述[J]. 华中科技大学学报：自然科学版, 2001, 29(3): 82-84.[8] 唐明, 李晓. 多种因素对混凝土孔结构分形特征的影响研究[J]. 沈阳建筑大学学报(自然科学版), 2005, 21(3): 232-239.[9] 张伟潼, 江守恒, 王洪生. 孔结构与混凝土抗渗性的关系[J]. 低温建筑技术, 2012, (5): 17-19.[10] 唐明, 王甲春, 李连君. 压汞测孔评价混凝土材料孔隙分形特征的研究[J].沈阳建筑工程学院学报：自然科学版, 2001, 17(4): 272-275.
我们上学的时候都学过，我国的海岸线全长一万八千余公里(北起鸭绿江口,南止北仓河口)。这个长度是以1公里长的标尺测量得到的。然而如果我们采用短些的标尺,例如1 厘
Joey玖玖 3人参与回答 2023-12-09 阅读经典文学作品中人物形象首先培养的是我们对人物形象的理解能力。经典为什么称之为经典？当然是因为它们都有存在的价值，那些带着作者感情的精灵~比如鲁迅笔下的祥林嫂
痴货哟i 4人参与回答 2023-12-11 1.引言景观设计是环境设计的组成部分，大到绵延几十公里的风景区规划，小到十几平方米的庭院设计，都属于景观设计的范畴。本文的景观设计定位于城市景观设计的层次上，选
幽香雨草 3人参与回答 2023-12-06 首先，作为一代霸主，他雄才大略、见识高超。这一方面在与同为奸雄的袁绍的外宽内忌、多谋少决的对比中突出得更为鲜明。如曹操入冀州后，有须发皆白的父老数人跪于地，说袁
villavilla 5人参与回答 2023-12-10 说到论文，那大概是令很多同学头疼欲裂的事吧？既然如此，那么形势与政策论文800字怎样写，形势与政策为题目的 范文 如何写？我给大家整理了关于形势政策论文80
追风的夕夕 3人参与回答 2023-12-07