线性方程的迭代法研究论文结论

你所谓的直接法是不是Ax=b==>x=A^(-1)b?如果是，对较大的（尤其是大而稀疏）的矩阵，一般这方法都不是好的选择。因为求A^(-1)的过程中，会做许多不必要的计算。而且当A近于奇异时，很难解出来。（当然，如果你尝试过可以很快的解出来，比如用matlab中的inv(A)*b，因为有简单的命令，也不失为好的选择。）对于迭代法，LU分解后用Gaussian消去法是个不错的选择，只是要自己写些程序，不像直接法那样方便。虽然是迭代，但matlab中提供了一个你可以直接用的命令，即A\b。还有就是对一些形式较为特殊的矩阵，比如正定的对称矩阵，你还可以用共轭梯度法，收敛速度非常快，而且适用于大而稀疏的矩阵。

线性方程组 ，用 的方式迭代求解，称作线性方程组的迭代法。令映射 为 ，迭代法解线性方程组本质上是想找映射 的不动点。 首先，可以用Banach不动点定理对映射 的不动点的存在性进行分析。 是一个压缩映像（contraction），当且仅当：当然在这里还并没有指定 空间中的范数是什么。但因为有限维Banach空间中范数的等价性，只要 对任意一种范数是压缩映像，那么 就存在不动点！ 不动点的存在性转化为对矩阵 的范数的分析，只要：上式 表示任意一种向量范数。到现在，容易知道，我们只要知道 的某一种与向量范数相容的矩阵范数，有 ，就能判断 存在不动点。 记 是矩阵 最大的奇异值，这个 也叫做 的谱半径（ ） 谱半径的意思就是， 在单位球 上的最大值就是 。 假如说 ，对某种矩阵范数和向量范数成立，那么，根据矩阵范数与向量范数的相容性，知道 ，即 ，矩阵的谱半径是所有矩阵范数的下界！ 因此，判断 的不动点是否存在只需要看 的谱半径（最大奇异值）是否小于1即可。 最后，Banach不动点定理只是一个充分性定理，就算 的谱半径大于1， 仍然可能存在不动点。