反三角函数论文格式

一．基础知识自测题：1．sin(arccosx)＝; tg(arcsinx)＝; sin(arctgx)＝.2．sin(arcsin)＝; arccos(cos)＝; arcsin(cos)＝.3．tg{arcsin[cos(arcctg(－))]}＝.4．cos[arctg＋arccos(－)]＝.5．sin[arctg(－)]＝; cos(2arcsin)＋cos(2arccos)＝.6．arcsin[sin(－5)]＋arctg(tg10)＝ 5－π .7．sin(2arctg)＋tg(arcsin)＝.8．cos{arcsin(sinx)＋arccos[cos(x－)]}＝ 0 .二．基本要求：1．对反三角函数施以三角运算，实质是求三角函数值，通常是利用反三角函数的意义，用辅助角表示反三角函数，同时给定角的范围，然后化成三角函数的运算。而对于反三角函数的多层运算，一般由内到外逐层化简；2．求反三角函数的值的实质是求角，应注意求角的三个步骤：①讨论角的范围，确定在这个范围内不同的角有不同的三角函数值；② 求这个角的一个三角函数值；③ 求出相应的角；3．反三角函数的等式证明，一般必须证明两点：①等式两端的角的同名三角函数值相等；② 等式两端的角在所取的三角函数的同一单调区间内；例一．已知函数f (x)＝arcsin(sinx), g(x)＝cos(2arccosx)，求证：f (x)是奇函数，g(x)是偶函数。证明：函数f (x)的定义域是R,f (－x)＝arcsin[sin(－x)]＝arcsin(－sinx)＝－f (x),∴f (x)是奇函数；函数g(x)的定义域是[－1, 1], g(－x)＝cos[2arccos(－x)]＝cos[2(π－arccosx)]＝cos(2arccosx)＝f (x).∴ g(x)是偶函数。例二．求函数y＝arccos(x2－x)的单调递增区间。解：由－1≤x2－x≤1, 解得≤x≤,设u＝x2－x＝(x－)2－, 则当x∈[, ]时, u单调递减，且u∈[－1, 1]时，y＝arccosu单调递减， ∴当x∈[, ]时， y＝f (x)单调递增。例三．计算：(1) tg(arcsin＋arccos); (2) sin(arcctg).解：(1) tg(arcsin＋arccos)＝tg(＋)＝.(2) sin(arcctg)＝sin(·)＝＝.例四．求值：(1) tg[2arcsin(－)－arccos]; (2) sin(2arctg)＋cos(2arctg2).解：(1) arcsin(－)＝－,设arccos＝β,则cosβ＝,β∈(0, ), sinβ＝,tg＝,∴原式＝tg(－－)＝－tg(＋)＝－＝－(8＋5).(2) 设arctg＝α，arctg2＝β, α,β∈(0, ), 且tgα＝, tgβ＝2,因此sin(2arctg)＝sin2α＝＝, cos(2arctg2)＝cos2β＝＝－,∴原式＝－＝－.例五．求值：(1) arcsin[sin(－)]; (2)arccos(cos);(3) arcsin[cos(＋α)]＋arccos[sin(π＋α)], 其中0<α<.解：(1) sin(－)＝－sin＝sin, ∴arcsin[sin(－)]＝arcsin(sin)＝.(2) arccos(cos)＝arccos[cos(π＋)]＝arccoscos＝.(3) ∵0<α<, ∴ cos(＋α)＝－sinα＝sin(－α), sin(π＋α)＝cos(＋α),∴原式＝arcsin[sin(－α)]＋arccos[cos(＋α)]＝－α＋＋α＝.例六．求证：sin{arccos[tg(arcsinx)]}＝.证明：设arcsinx＝α, α∈[－, ], sinα＝x, cosα＝, tgα＝,∴ arccos[tg(arcsinx)]＝arccos, 设arccos＝β, β∈[0, π],cosβ＝, sinβ＝＝,∴ sin{arccos[tg(arcsinx)]}＝.例七．求值：(1) tg[arcsin(－)]; (2) arcsin－arctg.解：（1）设arcsin(－)＝α, α∈(－, 0), 且sinα＝－, ∴ cosα＝,tg[arcsin(－)]＝tg＝＝－.(2) 设arcsin＝α，α∈(0, ),且sinα＝, cosα＝,arctg＝β, β∈(0, ), 且tgβ＝, sinβ＝, cosβ＝,又α－β∈(－, ), ∴ sin(α－β)＝sinαcosβ－cosαsinβ＝,∴α－β＝, 即arcsin－arctg＝.例八．已知arcsin0, x1x2＝ cos<0, 故正根的绝对值大于负根的绝对值，∴α＋β∈(0, ), ∴α＋β＝.例十．若(x＋1)(y＋1)＝2，求arctgx＋arctgy的值。解：∵ (x＋1)(y＋1)＝2, ∴xy＋x＋y＋1＝2, ∴ x＋y＝1－xy,设arctgx＝α, arctgy＝β, 则tgα＝x, tgβ＝y, ∴ tg(α＋β)＝ ＝＝1,又α,β∈(－, ), ∴ α＋β∈(－π, π), α＋β＝或α＋β＝－.三．基本技能训练题：1．当 x>0 时, arctgx＝arcctg, 当 x<0 时, arctgx＝ arcctg－π.2．比较大小：arccos(－) > arcctg(－).3．sin(arccos＋arccos)＝.4．已知cos2α＝,α∈(0, ), sinβ＝－,β∈(π, ), 则α＋β＝.四．试题精选：(一) 选择题：1．若arcsin(sinx)＝x，则x的取值范围是（B）。（A）－1≤x≤1 （B）－≤x≤ （C）0≤x≤1 （D）0≤x≤2．2arcsin＝（D）。（A）arcsin （B）arccos （C）－arccos （D）π－arctg3．若arctg(－3)＋arcctgx＝，则x的值是（B）。（A） （B）－ （C）2 （D）－24．下列各式中，其值为正的是（B）。（A）aecsin(－)－arccos(－) （B）arccos(－)－arccos(－)（C）arctg－arctg （D）arctg(－3)－arctg(－)5．cos2(arcsin)的值是（A）。（A） （B） （C） （D）6．若arcsin(－)＝－arccosx，则x等于（C）。（A） （B）－ （C） （D）－7．若arctg(1－x)＋arctg(1＋x)＝，则x等于（C）。（A） （B）－ （C）± （D）±18．当x∈[－1, 0]时, 下列关系式中正确的是（C）。（A）π－arccos(－x)＝arcsin （B）π－arcsin(－x)＝arccos（C）π－arccosx＝arcsin （D）π－arcsinx＝arccos9．函数y＝arccos(cosx) (x∈[－, ])的图象是（A）。（A） （B） （C） （D）10．若0<α<，则arcsin[cos(＋α)]＋arccos[sin(π＋α)]等于（A）。（A） （B）－ （C）－2α （D）－－2α(二) 填空题：11．cos[arccos(－)＋arccos]＝ －1 .12．arccos[sin(－)]＝.13．arcsin＋2arctg＝.14．sin[2arccos(－)]＝.15．arctg()＝.(三) 解答题：16．求arcsin＋arccos的值。解：设α＝arcsin, α∈(0, ), sinα＝, cosα＝,β＝ arccos, β∈(0, ), cosβ＝, sinβ＝,∴ α＋β∈(0, π), cos(α＋β)＝cosαcosβ－sinαsinβ＝,∴ arcsin＋arccos＝.17．求tg(arcsin)的值。解：设arcsin＝α, α∈(0, ), sinα＝, cosα＝,∴ tg＝＝. tg(arcsin)＝.18．求函数y＝cos(2arcsinx)＋2sin(arcsinx)的最值。解：设α＝arcsinx，x∈[－1, 1], sinα＝x, cos2α＝1－2sin2α＝1－2x2,∴ y＝1－2x2＋2x＝－2(x－)2＋,当x＝时, y取得最大值为，当x＝－1时, y取得最小值－．求证：sin[arcctg()－arctg()]＝tg2.证明：设arctg()＝θ，则arcctg()＝－θ，且tgθ＝,sin(－2θ)＝cos2θ＝＝＝ tg2.

一反三角函数的三角恒等式：1).sin(arcsinx)=x (|x|≤1)2).cos(arccosx)=x (|x|≤1)3).tan(arctanx)=x (-∞

反三角函数公式:arcsin(-x)=-arcsinxarccos(-x)=∏－arccosxarctan(-x)=-arctanxarccot(-x)=∏－arccotxarcsinx+arccosx=∏/2=arctanx+arccotxsin(arcsinx)=x=cos(arccosx)=tan(arctanx)=cot(arccotx)当x∈〔—∏/2，∏/2〕时，有arcsin(sinx)=x当x∈〔0,∏〕,arccos(cosx)=xx∈(—∏/2，∏/2),arctan(tanx)=xx∈(0，∏),arccot(cotx)=xx〉0,arctanx=arctan1/x,arccotx类似若(arctanx+arctany)∈(—∏/2，∏/2),则arctanx+arctany=arctan(x+y/1-xy)

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反三角函数并不能狭义的理解为三角函数的反函数，是个多值函数。它是反正弦Arcsinx，反余弦Arccosx，反正切Arctanx，反余切Arccotx这些函数的统称，各自表示其正弦、余弦、正切、余切为x的角。反三角函数其他公式cos(arcsinx)=√（1-x^2）arcsin(-x)=-arcsinxarccos(-x)=π-arccosxarctan(-x)=-arctanxarccot(-x)=π-arccotxarcsinx+arccosx=π/2=arctanx+arccotxsin(arcsinx)=cos(arccosx)=tan(arctanx)=cot(arccotx)=x当x∈[-π/2，π/2]有arcsin(sinx)=xx∈[0，π]，arccos(cosx)=xx∈(-π/2，π/2)，arctan(tanx)=xx∈(0，π)，arccot(cotx)=xx>0，arctanx=π/2-arctan1/x，arccotx类似若(arctanx+arctany)∈(-π/2，π/2)，则arctanx+arctany=arctan((x+y)/(1-xy))