不动点迭代法研究论文

当f(x)=x时，x的取值称为不动点，不动点是我们在竞赛中解决递推式的基本方法。 典型例子： a(n+1)=(a(an)+b)/(c(an)+d) 注：我感觉一般非用不动点不可的也就这个了，所以记住它的解法就足够了。 我们如果用一般方法解决此题也不是不可以，只是又要待定系数，又要求倒数之类的，太复杂，如果用不动点的方法，此题就很容易了x=(ax+b)/(cx+d) 令 ，即 ，cx2+(d-a)x-b=0 令此方程的两个根为x1，x2， 若x1=x2 则有1/(a(n+1)-x1)=1/(an-x1)+p 其中P可以用待定系数法求解，然后再利用等差数列通项公式求解。 注：如果有能力，可以将p的表达式记住，p=2c/(a+d) 若x1≠x2则有(a(n+1)-x1)/(a(n+1)-x2)=q((an-x1)/(an-x2) 其中q可以用待定系数法求解，然后再利用等比数列通项公式求解。 注：如果有能力，可以将q的表达式记住，q=(a-cx1)/(a-cx2) 简单地说就是在递推中令an=x 代入 a(n+1)也等于x 然后构造数列.（但要注意，不动点法不是万能的，有的递推式没有不动点，但可以用其他的构造法求出通项；有的就不能求出）我还是给几个具体的例子吧：1。已知a(1)=m. a(n+1)=〔a*a(n)+b〕/〔c*a(n)+d〕 求an的通项a(n)和a(n+1)分别表示数列的第n项和第n+1项解：这种形式的递推式我有两种解法,待定系数法和不动点法,在此用不动点法解决此问题. 将原递推式中的a[n]与a[n+1]都用x代替得到方程x=(ax+b)/(cx+d) 即cx²+(d-a)x-b=0 记方程的根为x1,x2(为了简单起见,假设方程有两实根) 原方程可以变形为-x(a-cx)=b-dx 所以-x=(b-dx)/(a-cx),将x1,x2代入得到 -x1=(b-dx1)/(a-cx1) -x2=(b-dx2)/(a-cx2) 将递推式两边同时减去x1得到a[n-1]-x1=[(a-cx1)a[n]+b-dx1]/(ca[n]+d) 即a[n-1]-x1=(a-cx1)[a[n]+(b-dx1)/(a-cx1)]/(ca[n]+d) 将-x1=(b-dx1)/(a-cx1)代入得到: a[n-1]-x1=(a-cx1)(a[n]-x1)/(ca[n]+d) 同理:a[n-1]-x2=(a-cx2)(a[n]-x2)/(ca[n]+d) 两式相除得到(a[n+1]-x1)/(a[n+1]-x2)=[(a-cx1)/(a-cx2)]*[(a[n]-x1)/(a[n]-x2)] 从而{(a[n]-x1)/(a[n]-x2)}是等比数列 (a[n]-x1)/(a[n]-x2)=[(m-x1)/(m-x2)]*[(a-cx1)/(a-cx2)]^(n-1) 所以a[n]={x2*[(m-x1)/(m-x2)]*[(a-cx1)/(a-cx2)]^(n-1)-x1}/([(m-x1)/(m-x2)]*[(a-cx1)/(a-cx2)]^(n-1)-1}2。An =2/A(n-1)+A(n-1)/2 求An通项解：利用不动点来求通项: 设f（x）=2/x+x/2 当f（x）=x时 x=-2，2，此点为不动点 An-2=[A(n-1)-2]^2/2A(n-1) An-(-2)=[A(n-1)-(-2)]^2/2A(n-1) 两式相除 An-2 =[A(n-1)-2]^2 —— —————— An+2 [A(n-1)+2]^2 发现规律了吗？ 此时再设{Bn}=（An-2）/(An+2 ) B1=（4-2）/(4+2)=1/3 递推式为：Bn =B（n-1）^2 所以Bn=（1/3)^[2^(n-1)] 由Bn通项和An通项的关系 解得：An={2*（1/3)^[2^(n-1)]+2} / {1-（1/3)^[2^(n-1)] } 自己化简试一下吧 补充一下：不动点大多用于极限过程。如数学分析中的隐函数定理、反函数定理的一般形式，微分方程初值问题解的存在唯一性定理，都是利用不动点理论证明的。 可以参看任何一本组合数学的书。由于数列是分式线性变换的迭代，可以和二阶矩阵的乘幂对应，所以也可以利用线性代数的特征值得到标准形来求解，都是类似的想法。——这就是这个题目背后的数学内容 具体的内容大概写起来很长，建议你去查书，组合数学的书或数学竞赛书中讲组合数学或数列的一部分。 对于高中生，当然可以从更自然的角度去看这个问题：递推公式可以通过适当的变换，转化为（一个或两个）等比数列求解。 网上找到一篇文章，就是讲线性递推和分式线性递推数列的，会对你有帮助：

当f(x)=x时，x的取值称为不动点，不动点是我们在竞赛中解决递推式的基本方法。（相关网站推荐：中国知网） 推导过程： a(n+1)=(a(an)+b)/(c(an)+d)

令x=(ax+b)/(cx+d)  ，即 ，cx2+(d-a)x-b=0 。

令此方程的两个根为x1，x2，

若x1=x2 ，

则有1/(a(n+1)-x1)=1/(an-x1)+p ，

其中P可以用待定系数法求解，然后再利用等差数列通项公式求解。

扩展资料：

常见类型

累加法

递推公式为

，且f(n)可以求和

例：数列{an}，满足a1=1/2，an+1 = an + 1/(4n2-1)，求{an}通项公式

解：an+1 = an + 1/(4n2-1)=an+[1/(2n-1)-1/(2n+1)]/2

∴an = a1 +（1-1/3+1/3-1/5+……+1/(2n-3)-1/(2n-1)）

∴an = 1/2+1/2 (1-1/(2n-1) )=

累乘法

递推公式为

且f(n)可求积

例：数列{an }满足

，且a1=4，求an

解：

an = 2n(n+1)

参考资料来源：百度百科--不动点法

参考资料来源：百度百科--数列通项公式

计算效率高。牛顿迭代法与不动点迭代法的比较算例中，不动点迭代法的计算效率与收敛速度更高。不动点迭代法的实现：通过合理构造j(x)函数，满足不动点迭代局部收敛的条件。

不动点的定义，设X是一个集合，T 是X到X的自映射，如果存在一个x0属于X，使得Tx0=x0，

则称x0为映射T的一个不动点。

不动点迭代，Tx=x

即将Tx的 n-1 次方作为变量带入，得到n次方