论文动点问题研究分析

现在我是高一，理科极品。中考二次函数动点，一般是分几问，第一问求函数解析式。已知有一个或几个动点的轨迹，求某平面图形面积的最值，通过勾股定理一类，表示面积的函数式，在再求出其最值。P.S：当时我中考的考题如图，在直角坐标系中，梯形ABCD的底边AB在x轴上，底边CD的端点D在y轴上.直线CB的表达式为y=－ x+ ，点A、D的坐标分别为（－4，0），（0，4）.动点P自A点出发，在AB上匀速运行.动点Q自点B出发，在折线BCD上匀速运行，速度均为每秒1个单位.当其中一个动点到达终点时，它们同时停止运动.设点P运动t（秒）时，△OPQ的面积为s（不能构成△OPQ的动点除外）.（1）求出点B、C的坐标；（2）求s随t变化的函数关系式；（3）当t为何值时s有最大值？并求出最大值.【解】（1）把y＝4代入y＝－ x＋ ，得x＝1. ∴C点的坐标为（1，4）. 当y＝0时，－ x＋ ＝0，∴x＝4.∴点B坐标为（4，0）.（2）作CM⊥AB于M，则CM＝4，BM＝3.∴BC＝ ＝ ＝5.∴sin∠ABC＝ ＝ .①当0＜t＜4时，作QN⊥OB于N，则QN＝BQ•sin∠ABC＝ t.∴S＝ OP•QN＝ （4－t）× t ＝－ t2＋ t（0＜t＜4） .②当4＜t≤5时，（如备用图1），连接QO，QP，作QN⊥OB于N.同理可得QN＝ t.∴S＝ OP•QN＝ ×（t－4）× t. ＝ t2－ t（4＜t≤5）.③当5＜t≤6时，（如备用图2），连接QO，QP.S＝ ×OP×OD＝ （t－4）×4. ＝2t－8（5＜t≤6）.（3）①在0＜t＜4时，当t＝ ＝2时，S最大＝ ＝ .②在4＜t≤5时，对于抛物线S＝ t2－ t，当t＝－ ＝2时，S最小＝ ×22－ ×2＝－ .∴抛物线S ＝ t2－ t的顶点为（2，－ ）.∴在4＜t≤5时，S随t的增大而增大.∴当t＝5时，S最大＝ ×52－ ×5＝2.③在5＜t≤6时，在S＝2t－8中，∵2＞0，∴S随t的增大而增大.∴当t＝6时，S最大＝2×6－8＝4.∴综合三种情况，当t＝6时，S取得最大值，最大值是4.（说明：（3）中的②也可以省略，但需要说明：在（2）中的②与③的△OPQ，③中的底边OP和高CD都大于②中的底边OP和高.所以③中的△OPQ面积一定大于②中的△OPQ的面积.）【思路分析】（1）点B、C的横、纵坐标分别已知，将其代入直线CB的表达式y=－ x+ ，可求出点B、C的坐标. （2）根据三角 形面积公式列函数关系式，注意需分三种情况讨论. （3）按（2）中的三种情况，结合所列函数的性质分别求出最大值，最后加以综合，得出结论.【方法规律】此题综合考查一次函数、二次函数、三角函数等知识，较以往压轴题难度降低，一改往年抛物线上架构几何图形的压轴 题特点，令人耳目一新，也更实用. 解题关键是结合图形特征分类讨论；能灵活应用一次函数、二次函数的性质，结合自变量取值范围的限制条件求最值.【易错点分析】考虑问题不全面，只讨论其中一种或二种情况.【关键词】一次函数，二次函数【难度】★★★★☆【题型】压轴题