运筹学论文动态规划

动态规划（Dynamic Programming，DP）是运筹学的一个分支，是求解 决策过程最优化 的过程。20世纪50年代初，美国数学家贝尔曼（R.Bellman）等人在研究多阶段决策过程的优化问题时，提出了著名的最优化原理，从而创立了动态规划。动态规划的应用极其广泛，包括工程技术、经济、工业生产、军事以及自动化控制等领域，并在背包问题、生产经营问题、资金管理问题、资源分配问题、最短路径问题和复杂系统可靠性问题等中取得了显著的效果。

虽然动态规划主要用于求解以时间划分阶段的动态过程的优化问题，但是一些与时间无关的静态规划(如 线性规划、非线性规划 )，只要人为地引进时间因素，把它视为多阶段决策过程，也可以用动态规划方法方便地求解。

在现实生活中，有一类活动的过程，由于它的特殊性，可将过程分成若干个互相联系的阶段，在它的每一阶段都需要作出决策，从而使整个过程达到最好的活动效果。因此各个阶段决策的选取不能任意确定， 它依赖于当前面临的状态，又影响以后的发展 。当各个阶段决策确定后，就组成一个决策序列，因而也就确定了整个过程的一条活动路线．这种把一个问题看作是一个 前后关联具有链状结构的多阶段过程 就称为多阶段决策过程，这种问题称为多阶段决策问题。在多阶段决策问题中，各个阶段采取的决策，一般来说是与时间有关的， 决策依赖于当前状态，又随即引起状态的转移 ，一个决策序列就是在变化的状态中产生出来的，故有“动态”的含义，称这种解决多阶段决策最优化的过程为动态规划方法

动态规划算法通常用于求解具有某种最优性质的问题。在这类问题中，可能会有许多可行解。每一个解都对应于一个值，我们希望找到具有最优值的解。 动态规划算法与分治法类似 ，其基本思想也是将待求解问题分解成若干个子问题，先求解子问题，然后从这些子问题的解得到原问题的解。与分治法不同的是， 适合于用动态规划求解的问题，经分解得到子问题往往不是互相独立的 。若用分治法来解这类问题，则分解得到的子问题数目太多，有些子问题被重复计算了很多次。如果我们能够保存已解决的子问题的答案，而在需要时再找出已求得的答案，这样就可以避免大量的重复计算，节省时间。我们可以用一个表来记录所有已解的子问题的答案。不管该子问题以后是否被用到，只要它被计算过，就将其结果填入表中。这就是动态规划法的基本思路。具体的动态规划算法多种多样，但它们具有相同的填表格式。

以一个例子来说明动态规划的概念(leetcode第5题最长回文子串)：

在这个例子中，一个字符串如果是回文子串，那么去掉头尾也照样是回文子串。而每一个字符都有可能是最长回文子串的一部分。

上面这个例子使用一个二维数组表示各个阶段的状态，这个二维数组的行是子串的起始位置，列是子串的结束位置。由于j>=i，所以只需要考虑二维数组的主对角线的上半部分，对角线上的值永远是true。用true表示这个子串是回文串，false不是回文串。那么对于某个固定位置的数组元素来说，它的值依赖于左下角的元素的值。进行填充的时候只能一列一列地进行填充，同一列的元素从上到下依次填充。

差很多。穷举法是用人工的方法把所有的可能项全部列出，再从中挑选符合约束的最优解，是最笨的一种方法。比如说要找出从A地到D地的最短距离，就要把所有从A到D的各种不同走法的距离都写出来，看哪个最小最优解就是哪个。变量少点还勉强可以，变量一多又麻烦又容易出错。动态规划是用科学的方法按照顺序或逆序，从中间变量开始依次往后或往前迭代推算，每次选出的都是最优解。这样就避免了那些从第一节点就非最优的一系列计算，只挑最优的算。在变量较多的时候使用，可以很快很准确的得到答案。

动态规划(dynamic programming)是运筹学的一个分支，是求解决策过程(decision process)最优化的数学方法。20世纪50年代初美国数学家R.E.Bellman等人在研究多阶段决策过程(multistep decision process)的优化问题时，提出了著名的最优化原理(principle of optimality)，把多阶段过程转化为一系列单阶段问题，利用各阶段之间的关系，逐个求解，创立了解决这类过程优化问题的新方法——动态规划。动态规划是一种在数学和计算机科学中使用的，用于求解包含重叠子问题的最优化问题的方法。其基本思想是，将原问题分解为相似的子问题，在求解的过程中通过子问题的解求出原问题的解。动态规划的思想是多种算法的基础，被广泛应用于计算机科学和工程领域。比较著名的应用实例有：求解最短路径问题，背包问题，项目管理，网络流优化等。