弦振动研究论文

古代方程发展史中国古代是一个在世界上数学领先的国家，用近代科目来分类的话，可以看出无论在算术、代数、几何和三角各方而都十分发达。现在就让我们来简单回顾一下初等数学在中国发展的历史。 (一)属于算术方面的材料 大约在3000年以前中国已经知道自然数的四则运算，这些运算只是一些结果，被保存在古代的文字和典籍中。乘除的运算规则在后来的“孙子算经”(公元三世纪)内有了详细的记载。中国古代是用筹来计数的，在我们古代人民的计数中，己利用了和我们现在相同的位率，用筹记数的方法是以纵的筹表示单位数、百位数、万位数等；用横的筹表示十位数、千位数等，在运算过程中也很明显的表现出来。“孙子算经”用十六字来表明它，“一从十横，百立千僵，千十相望，万百相当。” 和其他古代国家一样，乘法表的产生在中国也很早。乘法表中国古代叫九九，估计在2500年以前中国已有这个表，在那个时候人们便以九九来代表数学。现在我们还能看到汉代遗留下来的木简(公元前一世纪)上面写有九九的乘法口诀。 现有的史料指出，中国古代数学书“九章算术”(约公元一世纪前后)的分数运算法则是世界上最早的文献，“九章算术”的分数四则运算和现在我们所用的几乎完全一样。 古代学习算术也从量的衡量开始认识分数，“孙子算经”(公元三世纪)和“夏候阳算经”(公元六、七世纪)在论分数之前都开始讲度量衡，“夏侯阳算经”卷上在叙述度量衡后又记着：“十乘加一等，百乘加二等，千乘加三等，万乘加四等；十除退一等，百除退二等，千除退三等，万除退四等。”这种以十的方幂来表示位率无疑地也是中国最早发现的。 小数的记法，元朝(公元十三世纪)是用低一格来表示，如作1356 。在算术中还应该提出由公元三世纪“孙子算经”的物不知数题发展到宋朝秦九韶(公元1247年)的大衍求一术，这就是中国剩余定理，相同的方法欧洲在十九世纪才进行研究。 宋朝杨辉所著的书中(公元1274年)有一个1—300以内的因数表，例如297用“三因加一损一”来代表，就是说297=3×11×9，(11＝10十1叫加一，9＝10—1叫损一)。杨辉还用“连身加”这名词来说明201—300以内的质数。 (二)属于代数方面的材料 从“九章算术”卷八说明方程以后，在数值代数的领域内中国一直保持了光辉的成就。 “九章算术”方程章首先解释正负术是确切不移的，正象我们现在学习初等代数时从正负数的四则运算学起一样，负数的出现便丰富了数的内容。 我们古代的方程在公元前一世纪的时候已有多元方程组、一元二次方程及不定方程几种。一元二次方程是借用几何图形而得到证明。 不定方程的出现在二千多年前的中国是一个值得重视的课题，这比我们现在所熟知的希腊丢番图方程要早三百多年。具有x3+px2+qx=A和x3+px2=A形式的三次方程，中国在公元七世纪的唐代王孝通“缉古算经”已有记载，用“从开立方除之”而求出数字解答(可惜原解法失传了)，不难想象王孝通得到这种解法时的愉快程度，他说谁能改动他著作内的一个字可酬以千金。 十一世纪的贾宪已发明了和霍纳(1786—1837)方法相同的数字方程解法，我们也不能忘记十三世纪中国数学家秦九韶在这方面的伟大贡献。 在世界数学史上对方程的原始记载有着不同的形式，但比较起来不得不推中国天元术的简洁明了。四元术是天元术发展的必然产物。 级数是古老的东西，二千多年前的“周髀算经”和“九章算术”都谈到算术级数和几何级数。十四世纪初中国元代朱世杰的级数计算应给予很高的评价，他的有些工作欧洲在十八、九世纪的著作内才有记录。十一世纪时代，中国已有完备的二项式系数表，并且还有这表的编制方法。 历史文献揭示出在计算中有名的盈不足术是由中国传往欧洲的。 内插法的计算，中国可上溯到六世纪的刘焯，并且七世纪末的僧一行有不等间距的内插法计算。 十四世纪以前，属于代数方面许多问题的研究，中国是先进国家之一。 就是到十八，九世纪由李锐(1773—1817)，汪莱(1768—1813)到李善兰(1811—1882)，他们在这一方面的研究上也都发表了很多的名著。

一、函数的起源（产生） 十六、十七世纪，欧洲资本主义国家先后兴起，为了争夺霸权，迫切需要发展航海和军火工业。为了发展航海事业，就需要确定船只在大海中的位置，在地球上的经纬度；要打仗，也需知道如何使炮弹打的准确无误等问题， 这就促使了人们对各种“运动”的研究，对各种运动中的数量关系进行研究，这就为函数概念的产生提供了客观实际需要的基础。 十七世纪中叶，笛卡儿（Descartes）引入变数（变量）的概念，制定了解析几何学，从而打破了局限于方程的未知数的理解；后来，牛顿（ Newton）、莱布尼兹（Leibniz）分别独立的建立了微分学说。这期间，随着数学内容的丰富，各种具体的函数已大量出现，但函数还未被给出一个一般的定义。牛顿于 1665年开始研究微积分之后，一直用“流量”（ fluent）一词来表示变量间的关系。 1673年，莱布尼兹在一篇手稿里第一次用“函数”（ fluent）这一名词，他用函数表示任何一个随着曲线上的点的变动而变动的量。（定义1）这可以说是函数的第一个“定义”。例如，切线，弦，法线等长度和横、纵坐标，后来，又用这个名词表示幂，即表示 x , x2, x3,…。显然，“函数”这个词最初的含义是非常的模糊和不准确的。 人们是不会满足于这样不准确的概念，数学家们纷纷对函数进行进一步讨论。 二、函数概念的发展与完善⒈以“变量”为基础的函数概念 在 1718年，瑞士科学家，莱布尼兹的学生约翰·贝奴里（Bernoulli,Johann）给出了函数的明确定义：变量的函数是由这些变量与常量所组成的一个解析表达式。（定义2）并在此给出了函数的记号φx。这一定义使得函数第一次有了解析意义。 十八世纪中叶，著名的数学家达朗贝尔 （D’Alembert）和欧拉（ Euler）在研究弦振动时，感到有必要给出函数的一般定义。达朗贝尔认为函数是指任意的解析式，在 1748年欧拉的定义是：函数是随意画出的一条曲线。（定义 3）在此之前的 1734年，欧拉也给出了一种函数的符号f(x),这个符号我们一直沿用至今。 实际上，这两种定义（定义 1和定义 2）就是现在通用的函数的两种表示方法：解析法和图像法。后来，由于富里埃级数的出现，沟通了解析式与曲线间的联系，但是用解析式来定义函数，显然是片面的，因为有很多函数是没有解析式的,如狄利克雷函数。 1775年，欧拉在《微分学原理》一书的前言中给出了更广泛的定义：如果某些变量，以这样一种方式依赖与另一些变量，即当后面这些变量变化时，前面这些变量也随之而变化，则将前面的变量称为后面变量的函数。（定义 4）这个定义朴素地反映了函数中的辨证因素，体现了“自变”到“因变”的生动过程 ,但未提到两个变量之间的对应关系，因此它并未反映出真正意义上的科学函数概念的特征，只是科学的定义函数概念的“雏形”。 函数是从研究物体运动而引出的一个概念，因此前几种函数概念的定义只是认识到了变量“变化”的关系，如自由落体运动下降的路程，单摆运动的幅角等都可以是看成时间的函数。很明显，只从运动中变量“变化”观点来理解函数，对函数概念的了解就有一定的局限性。如对常值函数 ,不解释 十九世纪初，拉克若斯（ Lacroix）正式提出只要有一个变量依赖另一个变量，前者就是后者的函数。 1834年 ,俄国数学家罗巴契夫斯基（Лобачевский）进一步提出函数的定义： x的函数是这样的一个数，它对于每一个 x都有确定的值，并且随着 x一起变化，函数值可以由解析式给出，这个条件提供了一种寻求全部对应值的方法，函数的这种依赖关系可以存在，但仍然是未知的。（定义 5）这实际是“列表定义”，好像有一个“表格”，其中一栏是 x值，另一栏是与它相对应的 y值。这个定义指出了对应关系（条件）的必要性，把函数的“对应”思想表现出来，而“对应”概念正是函数概念的本质与核心。 十九世纪法国数学家柯西（ Cauchy）更明确的给出定义：有两个互相联系的变量，一个变量的数值可以在某一范围内任意变化，这样的变量叫做自变量，另一个变量的数值随着自变量的数值而变化，这个变量称为因变量，并且称因变量为自变量的函数。（定义 6） 1829年 ,狄利克雷（ Dirichlet）给出了所谓狄利克雷函数： y=1 当 x为有理数时； y=0 当 x为无理数时。这个函数并不复杂，但不能用解析式来表示，这一思想的提出，正是数学由过去的研究“算”到以后研究“概念、性质、结构”的转变的开端。 1837年他对函数下的定义是：在某个变化过程中，有两个变量 x和 y。如果对于 x在某一范围内的每一个确定的值，按照某个对应关系， y都有唯一确定值和它对应，则 y称为 x的函数； x称为自变量。（定义 7）这个定义的优点是直截了当地强调与突出了“对应”关系,抓住了概念的本质属性，只须有一个法则存在，使得这个函数定义域中的每一个值有一个确定的 y值和它对应就行了，不管这个法则是公式或图像或表格或其他形式;其缺点是把生动的函数变化思想省略和简化掉了。 ⒉以“集合”为基础的函数概念 函数的概念是随着数学的发展而发展的。函数的定义在数学的发展过程中，不断的改进，不断的抽象，不断的完善。十九世纪七十年代，德国数学家康托（ ）提出了集合论。进入二十世纪后，伴随着集合论的发展，函数的概念也取得了新的进展，它终于摆脱了数域的束缚向更广阔的研究领域扩大，使概念获得了现代化。 二十世纪初美国数学家维布伦（ Weblan）给出了函数的如下定义：若在变量 y的集合与另一变量 x的集合之间，有这样的关系成立，即对 x的每一个值，有完全确定的 y值与之对应，则称 y是变量 x的函数。（定义 8）从这个定义开始，函数概念已把基础建立在集合上面，而前七个定义则是把基础建立在变量（数）上的。 随着时间的推移，函数便被明确的定义为集合之间的对应关系，其定义是： A和 B是两个集合，如果按照某种对应关系，使 A的任何一个元素在 B中都有唯一的元素和它对应，这样的对应关系成为从集合 A到集合 B的函数。（定义 9）此定义根据映射的概念，用“映射”观点建立函数概念，其又可叙述为：从集合 A到集合 B的映射 f： A→ B称为集合 A到集合 B的函数，简称函数 f 。（定义 10）以上三个定义，已打破数域的束缚，将集合中的元素改为抽象的，可以是数，也可以不是数，而是其它一切有形或无形的东西，如 X是所有三角形的集合， Y是所有圆的集合，则 f 可以是把每一个三角形映射成它的外接圆的映射。 对新函数定义可以这样理解：函数是一个对应（规则），对于某一范围（集合）的元素，按照这个对应（规则）确定另一个元素。这样函数概念从狭义的“变化”观点转化到较广义的“对应”观点,函数即是一个对应（规则）。 对函数概念用“对应”（“规则”）来理解比起最初阶段虽然揭示出了函数概念的实质，但它还不符合我们最低限度地使用未被定义的术语的意图。因为什么叫“对应”和怎样理解“规则”还需要定义，例如规则不同，那么是否函数也不同呢？如f(x)=x与f(x)=(1+x)-1当然是不同的规则但却定义了同一函数。 为了解决这一矛盾，二十世纪初，特别是在六十年代以后，广泛采用只涉及“集合”这一概念的函数定义，而集合作为原始概念是不予定义的，这样的定义是：设 A、 B是任意两个集合， f是笛卡儿集 A× B的一个子集，满足：①对任意的 a ∈ A，存在一个 b∈B，使得 (a,b)∈ f，②若 (a,b)∈ f， (a,c)∈ f则 b=c。则称 f为 A到 B的一个函数。记作 f:A→B。（定义11）这个定义利用“关系”这个概念，便给出了只涉及原始概念“集合”的函数的一般定义，即不需要用到“对应”，又避免了对“规则”的解释，只要集合理论适用一切数学领域，这样给出的函数定义总是适用的。它可称的上是最现代的定义了。 到此，“函数”最完善的定义（定义 11）已给出，作为数学中最基本的概念之一，已把基础直接建立在集合上面，即把函数看作是从一个集合到另一个集合的对应，它和“映射”实际上是一回事。 三、新旧两种定义的比较 比较新定义（把以集合为基础的函数定义称为新的定义方式，而以变量（数）为基础的定义称为旧的定义方式。）和旧定义，它们之间有两个重要的区别： ⑴旧定义是建立在“变量”这个基本概念上的，而新定义则建立在“集合”这个基本概念上。什么是变量呢？通常把它理解为在选定一个单位以后，可加以度量的东西，如长度、质量、时间之类，这种理解一方面太疏于笼统，只能通过举例来说明，而难于加以精确化；另一方面，由于涉及大小关系，嫌过于狭窄，无法体现应用上的普遍性。其次，即使什么是“量”的问题不存在，作为变量，它须在某一范围取值（不一定是数值），这一定范围实际上就是事先得假定的一个集合 A（它构成函数的定义域），所谓“变量取值 a”，实质上就是“ a属于 A”的一种变相迂回的说法。可见，在变量的概念中已蕴含集合的思想。 ⑵旧定义中以“因变量”为函数，而新定义中则以“对应关系”为函数。函数概念的实质，主要的并不是因变量要随自便量“变”，而是两集合之间存在某种确定的对应关系。显然，新定义更能直接地揭示出函数的实质。

骨笛遐想——浅析小提琴发声、调音的物理原理一．选题意义据我国最早的物理史学家吴南薰先生考证，世界上第一个人工制作的物理仪器就是在兽骨或竹管上挖孔并能吹出声音来的笛子。这既是一种乐器，也是一种声学仪器；我国古代对共鸣、弦的振动、管的音调的研究等都是通过乐器来进行的；希腊哲学家毕达哥拉斯发现了琴弦的长短与音高有一定的关系；从近代物理学发展来看，声学依旧占据着相当重要的部分，且与我们的生活息息相关；……许多同学都会演奏一些乐器，但对于弦乐器的调试却无从下手。我们结合已经学过的振动学知识，浅析西洋擦弦乐器——小提琴的发声原理，并为演奏者检音、调试提供理论依据和实验结果参考。二．相关物理知识实际的乐音由基频、谐波（泛音）、分音三部分组成。每一个乐音即周期性的振动都可以分解为许多不同频率、不同相位、不同振幅的简谐振动的叠加。简单的简谐振动即正弦振动或余弦振动的传播产生的声波叫做纯音，实际的乐音如歌唱声、乐器声等都不是简单的纯音，而是许多的纯音的叠加。在这些简谐振动中，频率最低的叫做基频，基频的能量往往是最大的。频率是基频整数倍的叫做谐波，其余的高频振动叫做分音。现代的分析中表明，还有低于基频的次声。因此，从物理上讲，音乐声应由三部分组成：乐音、在音乐中使用的噪声（如锣、鼓、沙锤、梆子等没有固定音调的打击乐器和海涛、流水、风声等效果声音）以及对音色有影响的在谐波中存在的一部分超声。一般来说，发生体振动的频率越高，人们听起来音调也越高；发生体的振动频率越低，人们听起来音调就越低。但音调与频率之间并不是严格按比例对应的。一般认为，频率每增高一倍，音调听起来就高一个八度，这仅仅限于中频段。在高音部分，听感偏低，即频率增加一倍，听起来不到高八度，而是偏低，于是要把频率调高些，以适应人的听觉。低音段则听感偏高，于是需要把频率调低些。乐音听起来有一定的强弱，即音的响度，这是乐音的第二个主观量。声音的能量越大，声强越大，听起来响度就越大。但是，这二者也不是按比例一一对应的。至于音色，更是一种主观感觉了。从传统来讲，决定音色的主要因素是频谱，所以常常根据频谱模仿各种音色。但据资料显示，实践表明：音的起始与结尾的瞬间状况，即“音头”和“音尾”，也同音色大有关系。音色不仅与频谱的组成（即基频、谐波和分音的数目、长短、相对强度、分音的不谐和程度及瞬态）有关，还与基频和谐波在听音区的位置有关，这是由于人耳对于多种频率的响度反映不同。音色也与听者距声源的距离有关，这是因为一个音中的各种成分的衰减不同。三．相关音乐知识音程，就是两个音音高之间的距离。在音乐上，音程用“度”表示。几度就是把起始音算在内，沿着音阶数有几个音名。钢琴上相邻两个键（包括黑键）之间差半音，两个半音等于一个全音。这也是一种表示音程的方法。音程与频率基本上是一一对应的关系。把两个相差八度音程之间的音顺次排列，就成为音阶。规定音阶中各个音的由来及其精确音高的数学方法叫做律制。最常用的三种律制是十二平均律、五度相生律和纯律。音阶中的各个音都有音名，由于生律的方法不同，不同律制生成音律中的同名音（例如都是 ）其频率是不一样的。十二平均律是我国明代科学家朱载堉最先发明的，比西欧早了几十年。他将一个八度音程（频率比为2）按等比数列均分为十二份，得十二律。当前的钢琴和所有键盘乐器以及带“品”的弦乐器等，用的都是这种律制。数学表示：相邻两音之间的频率比均为： 即从任何一个音开始，比该音高半音的音，其频率是该音的频率乘 ；比该音低半音的音，其频率是该音的频率乘 ；以此类推，可得出所有音的频率。十二平均律有许多优点，比如它易于转调，简化了不同调的升、降半音之间的关系。在小提琴中，假如以 音的弦长为基准，那么小字一组（其中的 比 高两个八度） 、 、 、 、 、 、 对应的弦长之间按照十二平均律可由频率关系确定一组固定比值。四．研究与实验小提琴的弦是一根两端固定的细钢丝。在拨、擦弦线时产生的波列经两固定端反射，叠加后形成驻波，但其中包含有许多频率的波。在这里，我们只对决定音调高低的基频振动做出分析研究。驻波的基频振动所对应的为波长最长的振动，即弦长 。提琴弦线与指板之间的距离很小，用手指在指板上压紧琴弦不同位置而使得弦产生的形变量很小，可以忽略不计。则可认为弦上张力 ，及弦的质量线密度 保持不变，可得弦线中波速 近似恒定。因此，可认为有如下比例关系成立： 实验过程：一把小提琴，经专业乐师调音后，定下 音，再由一位有多年演奏经验的同学拨奏单音，多位乐感敏锐、受过专业训练的同学一起听辨，配合其他乐器校对各音高。记录及计算数据如下表。表中的k值定义如下：相差一个半音的两个音高对应 相差一个全音的两个音高对应 序号n 音高音名 比下音程差 弦长/mm 总长： 上述k值 第一次 第二次 第三次 平均值 计算值 理论值 误差率1 全音 全音 半音 全音 全音 全音 半音 其中弦长一栏为小提琴 弦（四根弦由粗到细依次叫作 、 、 、 弦，指的是该弦的空弦音）上对应各音高压指与琴码两固定点之间的距离，即参加振动的部分弦长。如上数据显示，平均误差率为，基本符合前文理论分析。五．结论我们总结出对于一把小提琴（邻弦相差五度）的自我调试方法：以一根弦，例如 弦，的空弦音 为标准，按音高关系计算出同一根弦上 所对应的弦的长度。取 音高即与 弦空弦音等高（这是小提琴的制作要求）。依次调整 弦的松紧、长度后，再算出 弦上 的音高，作为 弦的空弦音。……同理进行下去。此种方法适用于各类提琴及吉他等擦、拨弦乐器，但须注意：①对于比空弦音高出许多的音，计算方法误差较大。实验中在一根弦上进行多组数据测量只是为了便于计算、对比，得出结论；实际操作中应对各相邻琴弦依次校对。②大提琴与吉他相邻的弦空弦音相差四度，计算时应注意数据与小提琴不同。希望我们的研究能够对广大演奏弦乐器的音乐爱好者提供帮助。