反例在数学分析中的应用毕业论文

1. 生活中处处有数学 2、解数学竞赛题的整体策略 3、谈数学解题中发掘隐含条件的若干途径4、论数学教育中性别差异的影响 5、逆向思维在数学论证中的作用及培养6、谈小学、初中数学的衔接 7、容斥原理及其应用8、从高中课程改革看大学课程改革 9、信息化教育问题10、数学素质教育中的教师素质问题 11. 浅析课堂教学的师生互动12、谈设疑法在课堂教学中的应用 13、计算机辅助小学数学教学的探索 14、谈一类重要的数学方法--分类讨论法15、小学数学竞赛题的教育价值16、在解题中培养学生的数学直觉思维 17. 反思教学中的一题多解18. 初探影响解决数学问题的心理因素 19、在数学教学中培养学生的反思意识 20、关于探索性命题的若干问题 21、数学实验教学模式探究22、论小学数学竞赛题的解题方法 23、奥林匹克数学的解题策略24、三角形面积在竞赛中的应用 25. 数学教育中的科学人文精神 26. 数学几种课型的问题设计 27. 在探索中发展学生的创新思维 28. 把握发现式教学实质,优化课堂教学 29. 如何评价小学学生的数学素质 30. 阅读材料在数学教学中的作用 31. 数学中的判断之我见 32. 关于学生数学能力培养的几点设想 33. 反例在数学中的作用 34. 谈谈类比法 35. 数学教学设计随笔 36. 数学CAI应遵循的原则 37. 我国数学教育改革的若干问题 38. 当代数学教学模式的发展趋势 39. “问题解决教学”的实践与认识 40. 数学教学中的“理论联系实际” 41. 小学数学课堂教学探究性学习案例简析 42. 数学训练，贵在科学 43. 教学媒体在数学教学中的作用 44. 培养数学能力的重要性和基本途径 45. 初探在数学教学中开展研究性学习 46. 浅谈数学学习兴趣的培养 47. 如何使计算机辅助教学变得更方便 48. 精心设计习题，提高教学质量 49. 我对概念教学的的再认识 50. 数学教学中的情境创设 51. 结合数学教学实际开展教研教改 52. 为学生展开想象的翅膀创造环境 53. 利用习题变换，培养思维能力 54. 课堂教学中培养学生创造能力的尝试 55. 观察法及其在数学教育研究中的应用 56. 直觉思维在解题中的运用 57. 数学方法论与数学教学—案例三则 58. 概念课是思维训练的重要环节 59. 对概念导入和问题设计的思考 60. 把握概念本质注重思维能力的培养 61. 将研究性学习引入数学课堂教学 62. 数学教学的现代研究 63. 数学探究性活动的内容、形式及教学设计 64. 注重创新性试题的设计 以上为参考论文选题，学生写论文时可选用，也可按选题提供的范围和方向，根据自己教学过程中体会最深的某方面自定论文选题1．关于数学教学目的问题； 2．关于数学思维问题； 3．关于数学教学方法问题； 4．关于学习的迁移问题； 5．关于数学教学的评价问题； 6．关于熟练技能与深刻理解的关系问题； 7．数学的实用功能与数学的文化教育功能相关关系的研究； 8．数学教学的德育功能研究； 9．班级授课制中集体教学、小组教学和个别教学在数学教学中的地位和作用； 10．数学发现法(探究式)教学可实施的基本内容、对象和范围； 11．对数学教学中“可接受性原则”的认识及其具体做法的实验研究； 12．中学生数学学习习惯与学习方法的调查分析； 13．诊断和鉴别数学学习困难学生的方法探析； 14．数学智力因素与数学非智力因素的界定及其对学生学习成绩交互作用的研究； 15．数学教学中激发学生学习兴趣的内在机制和外部因素的研究； 16．教法与学法的双向作用研究； 17．学生“用数学”意识和能力的形成机制以及培养途径的实验研究； 18．数学新课程实施中转变学生学习方式的途径； 19．学生数学观念或数学意识的形成机制和培养途径的实验研究； 20．创设良好的数学教学心理氛围与提高数学教学质量相关关系 的研究。 21．中学数学教育的地位与作用。 22．形象思维与数学教学。 23．直观思维与数学教学。 24．非智力因素与数学学习。 25．数学美与数学教学。 26．在数学教学中怎样培养学生的数学能力。 27．数学作图及图形的教学。 28．数学解题错误的探讨。 29．怎样配备数学习题。 30．数学解题常用的一些思维方法。 31．怎样提高学生的自学能力。 32．怎样培养学生学习数学的兴趣。二、《概率论与数理统计》参考题 1．有关概率论发展的历史。 2．随机性与必然的数学基础与认识。 3．随机变量的直观认识与数学描述。 4．古典概率型的计算技巧。 5．几何概率型的分析处理。 6．有关概率论之介绍。 7．概率论中数学期望概念。 8．利用期望概率统一引人矩阵概率。 9．期望概率在概率论中的地位和作用。 10．特征函数与因数在概率论中的作用及其含义。 11．关于独立性。 12．大数定律与中心定律之含义。 13．大数定律与概率的统计定义。 14．有关概率不等式。 15．条件概率与条件期望。 16．Bayes公式的扩展。 17．概率在其它学科中的应用。 18．其它数学分支在概率论中的应用。 19．概率题目计算的多解性。 20．数理统计概念。 21．数理统计的过去与现在。 22．数理统计在客观现实中的作用。 23．假设检验的实质与作用。 24．参数估计的作用与处理方法。 25．数理统计在你自己工作实践中的应用(实例)。 26．学习概率统计的实践与体会。 27．概率统计中的错题分析。 28．如果我讲概率统计的话，我将这样讲(要求具体详细，资料充实，结构新颖)。 29．利用回归分析方法处理问题。 30．回归分析理论中存在的问题与解决的设想。三、《微分几何》参考题 1．空间曲线的基本公式及其在曲线论中的作用。 2．渐近线与渐缩线。 3．空间曲线弯曲性的研究。 4．曲率与挠率。 5．曲面的第一基本形式在曲面论中的作用。 6．等矩映象与曲面的内在几何。 7．曲面的第二基本形式在曲面论中的作用。 8．曲面上的曲率线，渐近曲线，测地线。 9．曲面的内在几何与外在几何的相依性。 10．曲面内的基本定理与曲线论的基本定理的比较(相仿之处与不同之处)。 11．高斯曲率的意义与作用。 12．等矩映射与等角映射及等积映射的关系。 13．高斯与波涅公式的意义与作用。 14．伪球面与罗氏几何。四、《复变函数》参考题 1．复变函数在一点解析的等价定义。 2．幅角多值性所导出的问题汇集。 3．小结复变函数的积分。 4．解析与调和函数的关系。 5．漫谈复数∞。 6．0，∞与函数 7．多值函数单值分支的表达与计算。 8．分式线性函数全体对乘法——函数复合——构成群。 9．∞和∞邻域的引进使扩充复平面的为紧空间。 lo．等比级数 ，在函数的泰勒展开式和罗朗展开式中的作用。 11．谈复数的比较大小问题。 五、《实变函数》参考题， 1．关于积分号下取极限(积分与极限交换次序问题)。 ①在什么条件下可以积分号下取极限，是积分的一个重要性质，例 如关系到微积分基本定理成立的条件，函数项级数和的性质等等。 ②列举勒贝格积分和黎曼积分在几个问题上的基本结论，分析其 中最基本的要求和相互关系(书上P146第6题可供参考)，可以发现勒贝格积分在这方面比黎曼积分好得多，而且是用勒贝格积分的主要好处之一。 ③给出上述基本结论的简单推论，新的证明方法应用例题，并说明它们的意义。 2．关于微积分基本定理(牛顿一菜布尼兹公式) ①什么是微积分基本定理，它的重要意义在哪里? ②黎曼积分情形，相应定理的条件是什么?有什么不足之处? ③勒贝格积分情形，相应的定理的结论和条件又是怎样的?条件减弱在哪里?还有什么问题? ④应用例题。 3．关于绝对连续函数。 ①绝对连续的定义是什么?有些什么等价说法或充分必要条件，并证明之。绝对连续与连续、一致连续有什么不同，有什么关系。 ②证明绝对连续函数列一致收敛的极限，可微函数与绝对连续函 数复合，仍为绝对连续的。 ③绝对连续函数几乎处处可微，能否做到处处可微?举例!绝对连续函数与它的导致关系如何，与微积分基本定理有什么关系。 ④绝对连续函数全体组成线性空间。 4．关于勒贝格积分。 ①试将关于勒贝格积分的定义综合起来，做出一个统一，一般的勒贝格积分定义，并说明勒贝格积分仍然是“分割、求积、取极限”的结果，勒贝格积分的“分割”与黎曼积分又有何根本不同之处? ②说明勒贝格积分在几何上仍是“曲边梯形的面积”。 ③证明对于勒贝格积分，也和黎曼积分一样，无界函数的积分(广 义积分)和无界区域上的积分(无穷积分)，都是有界函数在有界域上的积分的极限。 ④勒贝格积分有哪些黎曼积分所没有的重要性质。从积分的定义看，是什么原因导致这两类积分有许多重大差别。 ⑤勒贝格积分有许多重要性质，带来一些什么好处? 5．关于测度。 ①总结定义点集的勒贝格测度的过程，并与数学分析中定义区域的面积的过程(重积分前面部分)作比较，分析其中不同之处，以及为什么因为这些不同，导致黎曼积分和勒贝格积分在性质上有许多重大差别。 ②说明勒贝格测度长度、面积、体积概念的推广，当平面区域可求面积时，它的面积和勒贝格测度相等。 ③列举勒贝格测度的重要性质，说明它们与勒贝格积分性质的关 系(例如测度的可数可加性与积分的可数可加性有什么关系，单调集列极限的测度(定理3、2、6～3、2、10)与勒维定理(定理5、4、2的关系)。 6．关于可测函数。 ①可测函数与连续函数，可积函数从定义上、性质上看有什么关系和差别。 ②全体可测函数构成线性空间，构成环。 ③试说明鲁金定理的意义，以及它与黎斯定理、叶果洛夫定理的关系。你如何理解“可测函数近于连续函数”及其理由。 7．关于可测函数列的各种收敛概念。 ①试述实变函数论中及数学分析中讲过的各种收敛概念的定义和性质、互相之间的关系。以及引进这些概念的意义和用处。 ②从黎斯定理和叶果洛夫定理出发说明，你怎么理解“几乎处处收敛，近乎一致收敛”。 8．关于点集上的连续函数。 ①定义，性质。 ②与数学分析中讲的连续的关系。 9．集合论和点集论的方法在实变函数论中的意义。 从一些具体例子出发说明，为了解决数学分析中一些结果不够完善的问题，如推广它们的结论，有必要用这种方法去研究函数，用它也确实有好的效果。说明集合论是测度论和积分论的基础。 以上问题，除参考．所用教材外，还可参考程其襄等编《实变函数与泛函分析基础》。朱玉楷编《实变函数简编》等有关书籍资料。

一、“反例教学法”产生的背景 目前,随着我国基础教育课程的逐步深入,课程理论研究正面临极好的机遇和极大的挑战,改革实践呼唤科学的课程理论给以指导,因此教学方法的改革将会是这个时代教育中最突出的特征,学生在课程教学中的主体地位,学生的主动学习无疑将日益突出,广大教育工作者必须全身心投入到教材教法的研究,勇敢地实践摸索出一些成功的教学方法,以适应时代的需要。然而,中学数学教学的现状令人担忧,广大地区存在教法落后、效果不佳等问题,其中教法的问题尤其明显,教师常常是凭借一支粉笔、一块黑板,一讲到底,采用“灌输式”、“填鸭式”教学方法是导致这种现象的现实温床或根源,松散低效的教学管理过程和片面的教学评价标准是形成这种现象的直接原因,一些数学教师本人也负有不可推卸的责任。在数学教学中运用“反例教学法”非常有利于改变上述状况,本文结合自己的教学实践,对“反例教学法”在数学教学中的运用做了一些研究。 二、“反例教学法”的定义 反例教学法是指在教师指导下,根据教学目标和内容的需要,采用典型例题的典型错误解法或错误认识组织学生进行学习、寻找、探讨错误的地方与原因,达到真正完全掌握数学基本概念、性质,并最大限度地避免解题出错的一种教学方法。简言之,反例教学法实质上是指教师呈现少数例题,引导学生进行批判的一种教学方法。这种教学方法脱胎于首创于哈佛大学的案例教学法,它最早被运用于19世纪后半叶的法律教学中,教师选择个别犯罪案例进行剖析,让学生学习法学的基本知识和理论,以后被运用于医学、心理学、管理学等学科研究与教学之中。 三、“反例教学法”的实施过程 采用反例教学法进行数学教学时,在教学过程中,教师的施教方法和学生的学习方法上都有一系列规范,主要反映在以下几个操作步骤之中。 1.选编反例。这是实施反例教学法的基础和前提,要动员教师集体编写反例,每个教师至少要准备 20～30个反例,这些反例具有一定的教学价值,编好之后,存入反例库中,随时供教学使用,选择和编排反例具体要求有以下几点: 第一,反例必须从教学实践中来,真实、生动。如果是教师自己编写的也必须符合客观实际。 第二,反例必须精炼。选择反例的数量不能多,运用反例的目的是为了使学生掌握抽象的数学概念、性质,不能不加选择地大量地罗列反例,只需要选择那些高质量的少数典型反例。因为反例教学法是使教师和学生借助分析少数有代表性的反例,从而获得整体性、全面性的知识的方法,我们不可能在短时间里收集和列举所有的实际反例,可以抓住与某部分知识有关的几个典型例子加以剖析,从而把握概念的本质特征。 第三,反例必须典型。反例要能代表概念性质对象的特点,倘若随手拈来几个反例,则其意义和教育价值就有局限性,典型的反例可以是综合知识量大的部分,也可以是概念、知识点的某个性质。 第四,反例必须有针对性。应该针对所讲的教学内容和教学实际和学生的接受能力来选择和编排反例。 第五,反例必须具有系统性。在教学中选用的反例应该相互联系,由简单到复杂,分层次地有序地编排,反例整体排列结构的合理化能发挥反例教学法的最大教育功效。 2.呈现反例。反例的呈现应放在讲授基础知识之后,既可以在讲授某一块知识时显现,也可以在讲完一个单元或一个章节之后呈现,呈现的方式有以下几种: 第一,给每个学生印发一份文字反例,第二,运用投影仪将反例投射到黑板上,第三,教师利用多媒体技术呈现反例,第四,教师利用即时刺激或环境请学生板演制造真实的反例 3.分析反例。对于同一个反例,每个学生可以发挥出不同的意义,有人只能找到浅层的信息,有人则能得到透彻的知识面,从而对症下药,教师要引导学生发现揭示反例的本质错误。分析反例的关键是学生和教师共同努力,把反例中的内容与相应的一个或几个知识点联系起来,为此,教师要做好启发引导工作,让学生综合运用所学的知识积极地去独立思考,大胆地交流研讨。 四、“反例教学法”在教学中的重要意义 反例教学法重视具有典型意义的教学内容,教学思路由特殊到一般,借助于精选的题材,培养学生主动学习、发现问题的独特思考能力,发展学生的创造力,其意义存在于以下几个方面。 1.能丰富和加深学生对抽象数学理论的理解,对数学概念、性质、定理有比较清晰的认识。教师运用的反例必须由简单到复杂,同时具有典型、形象、直观等特点,给人以身临其境的感觉,易于学习、理解,通过反例能加强学生的感知印象,有利于学生将所学知识内化。 2.能发展学生的综合分析能力和创造力。每个反例都有核心部分和枝节部分,要引导学生排除枝节部分的干扰,重点把握反例的核心部分。核心部分与概念性质有密切关系,但这种对应关系不是一一对应的简单联系,有时一个反例对应着三四个基本概念、性质。学生需要综合运用数学知识来分析反例中蕴藏的知识点,也需要从反例的线索引申开去,创造性地认识反例所反映的一般情形,独立地发表自己的见解。 (作者单位:河北省大名县第三中学)