柯西准则是实数完备性六大定理之一，它是极限论的基础。
在大于某个特定的项数n之后，任选两个项的绝对值总会小于一个数（该数值不确定，但恒大于零），则这个数列就是基本数列（收敛数列）。
数列收敛的充分必要条件是：对于任意给定的正数ε，总存在正整数N，使得当m>N，n > N时，且m≠n，有
我们把满足该条件的{x}称为柯西序列，那么上述定理可表述成：数列{x}收敛，当且仅当它是一个柯西序列。
柯西极限存在准则
柯西极限存在准则又叫柯西收敛原理，给出了收敛的充分必要条件。柯西极限存在准则，又称柯西收敛准则，是用来判断某个式子是否收敛的充要条件（不限于数列），主要应用在以下方面：
（1）数列
（2）数项级数
（3）函数
（4）反常积分
（5）函数列和函数项级数
每个方面都对应一个柯西准则，因此下文将按照不同的方面对准则进行说明。
柯西准则是数列或者函数收敛的充分必要条件。一般用于证明函数或数列收敛。如果不能够轻易的知道数列或者函数收敛到某个值的话，用柯西准则会比较好证明其收敛。
柯西中值定理
这都不会？？？丢人！百度一下全都有了
这是克莱姆法则最简单的证明方式,就我所知.但是一般的教材会按照历史发展的顺序先讲行列式,再讲矩阵,所以......(如果看不懂,学了矩阵后再来看就好了.) 仅就理论结构上而言,先讲线性方程组的一般解法,再讲线性空间,然后讲矩阵,最后讲行列式是最好的.这种讲法比较抽象,因为一上来就讲线性空间,初学者不好入门,而且也不是历史发展的顺序.但是却是最清晰的理论框架. 为什么要研究行列式,就是为了判断方阵是否可逆!(当然,行列式最初被发明出来不是为了这个目的.) 克莱姆法则在理论上很有用,但是在应用中的作用几乎等于0.没有人会用克莱姆法则去解线性方程组(简单的2维方程组可以用克莱姆法则解). 最后,至于你所问到的为什么克莱姆法则可以解线性方程组.因为这个鬼东西被证明了啊!你还想怎样?
1. 克莱姆法则的重要理论价值：研究了方程组的系数与方程组解的存在性与唯一性关系;2.应用克莱姆法则判断具有N个方程、N个未知数的线性方程组的解:（1）当方程组的系数行列式不等于零时，则方程组有解，且具有唯一的解；（2）如果方程组无解或者有两个不同的解，那么方程组的系数行列式必定等于零；3.克莱姆法则的局限性：（1）当方程组的方程个数与未知数的个数不一致时，或者当方程组系数的行列式等于零时，克莱姆法则失效。（2）运算量较大，求解一个N阶线性方程组要计算N+1个N阶行列式。
特克拉默法则是一种经济学原理，它指出，对于一个采取某一行动的个体来说，其期望的收益应该与其实际的收益一致。换句话说，个体应该优先考虑自身利益，而不是他们的他人利益。
这种事不要在网上做了，你是搞政策研究的吧。
谨慎性原则在企业会计工作中的应用
谨慎性原则在企业中的应用具有重大的意义，但由于谨慎性原则在使用中还存在一定的问题，那么，在企业会计工作中如何应用谨慎性原则呢？
摘要:为了更好的处理各项会计工作，确保会计信息的准确性和可靠性，这就要求企业在会计工作中需要遵守各项会计原则。而谨慎性原则作为其中非常重要的一项会计原则，主要是针对企业在生产经济活动中的一些不确定性因素而制定的，它要求会计人员在处理会计核算等各项会计问题上，针对不能确定的会计因素要采取谨慎的态度，努力将各种潜在的风险降到最低。本文在分析了谨慎性原则的定义和使用意义后，探讨了谨慎性原则在企业会计工作中存在的一些局限性，同时针对这些问题提出了一些合理的建议和措施，希望能提高企业的会计工作。
关键词:谨慎性原则;会计核算;企业会计管理
目前，随着我国社会经济的发展以及经济全球化的不断进步，会计工作所处的外部环境也变得越来越激烈，这无疑对会计工作也提出了更高的要求。但是，现在很多企业却面临着会计信息失真的现象，企业的经营风险也变得越来越大。因此，企业的投资者在处理会计事项中不得不更加小心谨慎，更加重视了对企业的会计管理工作。因而，谨慎性原则在会计工作中的应用也已经成为一种必然趋势。
一、谨慎性原则的含义以及在企业会计工作中应用的重要意义
谨慎性原则作为我国企业会计核算中运用的重要原则，又被称为稳健性原则或者审慎原则。由于会计环境往往存在很多的不确定因素，这也加大了会计工作的风险和工作难度，企业在无法判断和确任外部风险和各项会计因素对会计计量的精确性时，最好要用谨慎的职业判断和稳健的会计方法来处理。因此，谨慎性原则是企业在经营过程中，对会计信息不确定性时的一种处理方法，其最根本的目的是为了维护企业的利益。
企业在任何生产经营阶段，都会遇到各种不同的内在和外在风险，针对企业不能确定的会计信息，及时采取谨慎的会计处理方法，这在一定程度上可以保证会计信息的真实性，降低企业风险，运用合理得当的话，这对增强企业抵御风险的能力，提高企业生产经营水平等都具有很重要的意义。
二、谨慎性原则在会计应用中存在的局限性
虽然，谨慎性原则在企业会计工作中的应用对企业具有很大的作用，但是，由于谨慎性原则具有一定的不平衡性和倾向性，如果不能正确分析和理解，在应用的过程中就会存在很多的局限性。主要表现在以下几个方面：一是谨慎性原则受主观意识较强而难以确量;二是与其他会计原则相冲突;三是谨慎性原则在使用过程中易造成会计信息失真;四是从事会计人员的素质有待提高。
(一)谨慎性原则受主观意识较强而难以确量
当前，由于我国的价格市场机制以及资产信息等都不够完善和健全，同时，企业之间的实际经营状况也很难以确定，不能单从企业的会计信息报告中看出企业的真实发展状况。因此，企业在应用会计谨慎性原则时的个人主观意识很强，企业应用谨慎性原则的最终目的是为了保护公司利益，避免夸大企业利润，然而，企业在使用谨慎性原则时也有可能高估了企业的资产价值，降低了企业风险，最终导致会计信息失真，这些都与从事会计工作人员的专业素质和道德素养及工作经验相关，这些都将直接影响会计信息的确认与计量。
(二)与其他会计原则相冲突
谨慎性原则在使用当中与相关性原则、客观性原则以及可靠西性原则等其他会计原则相冲突。一是与可靠性原则相冲突。可靠性原则强调在会计核算时要注意会计信息的可靠性和真实性，更要以实际发生的经济业务为做账依据;而谨慎性原则是要确认尚未发生的费用或者损失，因此，两者相互冲突;二是与客观性原则相冲突。客观性原则也强调要反应最真实的生产经营状况和财务现状，而谨慎性原则在使用中很有可能忽略了尚未发生的利润，这与客观事实不一致，因此，两者相互冲突。
(三)谨慎性原则在使用过程中易造成会计信息失真
目前，我国企业在内部控制管理水平及法人治理结构等方面都不完善，企业在应用谨慎性原则的过程中，可以随意调节企业的盈利利润，修改财务会计报告，甚至有的企业为了达到少交企业所得税等其他目的，过度使用谨慎性原则，从而操纵会计信息，会计信息一旦被修改，就很容易造成企业的会计信息失真，这些都不利于谨慎性原则在企业会计管理中的应用。
(四)从事会计人员的素质有待提高
谨慎性原则要求对于企业可能发生的各种损失和费用，都要满足“合理核算”的会计计量和确认标准，然而，在合理判断的过程中，主要取决于会计人员的工作经验和职业判断能力。随着现代经济的发展，虽然我国会计行业已经得到了较快的发展，但从事会计工作人员的素质还有待提高。主要表现在以下两点：一是有些会计人员的专业素质不够高。他们自身的工作经验比较少，学历比较低，只能掌握简单的会计处理方法，特别是针对新制度中“可选择性”等敏感事项，他们往往难以掌握核算要求，缺乏职业判断能力;二是会计人员的道德素质不够高。有些会计人员在使用谨慎性原则时，会违背职业道德，滥用会计政策，破坏企业的会计信息。
三、谨慎性原则在会计工作应用中应该注意的事项
虽然，谨慎性原则在企业中的应用具有重大的意义，但由于谨慎性原则在使用中还存在一定的问题，因此，在各项会计事务中，企业要注意以下几点事项：一是提高会计人员的综合素养水平和工作能力;二是协调谨慎性原则与其他会计原则之间的冲突;三是完善相关的会计法律规范;四是避免过度谨慎。
(一)提高会计人员的综合素养水平和工作能力
由于谨慎性原则本身具有很强的主观性和倾向性等多种特征，因此，这就需要会计人员要具备较高的综合素养水平和工作能力。主要可以通过以下两点来完善：一是会计人员要通过不断学习各种新的会计管理制度和国家政策，及时了解会计核算管理规定等相关会计信息，同时要求掌握相关的法律、企业管理等多种知识，并积极向身边有工作经验的会计人员系统的学习会计专业知识，才能不断增强自身对经济环境的预测能力和分析能力，做到实事求是、诚信为本，才能提高其职业判断能力和工作能力;二是提高职业判断意识。在会计工作中，在注重实践锻炼的基础上，要养成良好的'工作行为和思维习惯，变换工作思维方式转变观念，真正提高自己的职业判断意识。
(二)协调谨慎性原则与其他会计原则之间的冲突
在运用各项会计原则时，企业都应按照客观、真实的会计信息进行处理，协调谨慎性原则与其他原则之间的冲突，企业在应用谨慎性原则时，应该明确规定使用的条件和前提：首先要把客观性原则放在第一位，其次要明确在其他会计原则无法使用或其他原则的使用不会对企业造成重大的影响时才能使用，这可以避免一些不必要的冲突。
(三)完善相关的会计法律规范
我国现有的会计准则和规范仍不能满足各种会计行为，因此，为了进一步提高企业的会计信息质量，应该完善相关的会计法律法规。例如，规范谨慎性原则的使用范围和比例，明确职业判断标准，加强对会计政策的宣传和引导等方式，来完善各项会计使用制度。
(四)避免过度谨慎
谨慎性原则是比较抽象的一种规定，在使用中难免带有一定的模糊性和不确定性，因此，谨慎性原则的使用对企业来讲具有很大的风险性。例如，有的企业会把谨慎性原则理解为“宁可多计损失，不能预计收益”，这样就会造成企业的潜在收入不能入账，而故意扩大了计提成本的费用标准和范围，因此，企业在应用中要避免过度谨慎。
通过以上对谨慎性原则的分析，我们可以看出在会计工作中，应用好谨慎性原则可以提高企业的会计管理水平，促进企业健康发展，增强企业会计信息的准确性和真实性，从而为投资者提供有价值的会计信息，但如果过度谨慎的话，谨慎性原则就会造成会计信息的失真，给企业的投资和发展带来一定的损失。
因此，针对当前谨慎性原则在使用中存在的会计人员素质不高、过度谨慎、与其他会计原则相冲突等局限性，在以后的会计工作中，一方面企业要不断完善内部的控制和管理水平，提高对谨慎性原则的正确认识以及提高会计人员的专业素质和道德水平，同时，我国也要进一步完善相关的会计准则和规范，只有这样，才能使谨慎性原则在企业会计工作中得到更好的应用。
参考文献：
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[2]赵鑫.企业会计工作的重要性及途径[J].新课程学习.2015(03)
[3]马千惠.浅议谨慎性原则在会计核算中的应用[J].时代金融.2015(32)
[4]钟骏华,孙晓铮.论谨慎性在会计实务中应用存在的问题与对策[J].中小企业管理与科技.2015(01)
谈财务管理中谨慎性原则及应用 财务管理中谨慎原则也称稳健原则，是指在某一会计处理方法有几种方案可供选择时，要选择对净收益和财务状况产生影响的乐观程度最小的那一种方案，即要求人们在会计处理上持谨慎态度，充分估计可能的风险和损失，尽量少计和不计可能获取的收益，把风险和损失缩小到最小范围。具体而言，就是对于资产和收益确认倾向于“从缓认可”，计量上“宁低忽高”而对负债和费用在确认上遵循“从速认可”，计量上“宁足忽缺”的方法。对经营的不稳定性和风险性的各种因素作出谨慎的反映和处理以保持企业的稳健经营，增强企业后劲。 一、在财务管理工作中遇到的问题及其对策。 《企业会计准则》第十八条规定“会计核算应当遵循谨慎原则的要求，合理核算可能发生的损失和费用”。这是我国会计制度改革的一大突破。它充分体现了市场经济条件下企业自主经营、自负盈亏的客观要求。随着市场经济的深入...... 总之，谨慎性原则在我国财务管理工作中加以应用，应该说是对会计一般原则的认识和运用的一个突破，也是证明我国现代会计与国际会计贯例接轨的主要标志之一。它对增强企业竞争能力，从而推动社会主义市场经济的发展有着非常重要的意义。那么，如何在我们日常的会计工作中运用好谨慎性原则，为国家、社会和企业领导提供更为科学、真实、有效的会计信息，则是摆在我们每一个会计工作者面前的一个重要问题。为此，我们每个会计工作者必须认真学习财务知识，掌握财会法规，把握好谨慎原则的适度问题，为建立现代企业制度为国家的繁荣富强作出我们的贡献。《谈财务管理中谨慎性原则及应用》来源于 内容太多了,还是你自己去看看吧.
会计工作中的谨慎性原则探析
由于我国的资本主义市场不完善、相关法律制度不健全、公司法人治理机构不合理以及公司内部控制制度存在缺陷等问题的存在，企业内部相关的负责人能够利用谨慎性原则达到调节利润以及粉饰财务报表的目的。以下是我为您整理的会计工作中的谨慎性原则探析，希望能提供帮助。
摘要： 随着市场经济的不断推进，国家对市场主体的干预越来越有限，更多地将市场主动权交给企业，由此带来的风险和竞争因素不断增加。这种情况使得企业会计核算所处的环境也并不稳定，而谨慎性原则的提出为减少这些不确定因素，保持会计信息记录的准确性和客观性提供了不可或缺的条件。但是，在我国谨慎性原则的运用依旧存在着问题及其自身的局限性，对此加以分析，并提出相应的解决措施。
关键词： 谨慎性原则;会计工作;应用
引言
谨慎性原则又可以称为稳健性原则抑或称其为保守主义原则，它要求在不确定的会计环境因素下，由于会计的确认和计量会或多或少受到这些风险因素的影响，因此会计人员应当保持应有的谨慎性并运用自身的职业判断选择最具有保险性的会计估计方法，从而少估资产和收益、多估负债和损失。
基于此，我们可以看出谨慎性原则在会计工作中能够有效防止企业财务会计报告虚假陈述的发生。但是，由于我国的资本主义市场不完善、相关法律制度不健全、公司法人治理机构不合理以及公司内部控制制度存在缺陷等问题的存在，企业内部相关的负责人能够利用谨慎性原则达到调节利润以及粉饰财务报表的目的。由此可见，加强对谨慎性原则运用的现状进行分析，能够为其在会计工作中的合理运用提供一定的支撑。
一、谨慎性原则在会计工作中存在的问题
(一)谨慎性原则的运用具有极大的主观判断性
从谨慎性原则的定义中可以看出，它是企业在面临内外部不确定风险因素的情况下，做出的有利于企业最为谨慎的信息反映。在这个时候，企业的相关财务会计工作人员便会运用他自身的职业素质能力以及其做出的判断来进行反映。这种局限性容易导致相关的财务会计信息反映得并不准确，而相关的财务报表使用者在进行阅读的时候也会对其所反映的信息拿捏不准，从而对企业投资决策造成一定程度上的影响。
例如，存货在期末计价中采用成本与可变现净值孰低的原则，成本是指企业购入存货或者自产的实际成本，而对于可变现净值的确定需要相关的职业判断。企业会计准则中关于可变现净值的定义是指在企业的日常的生产经营活动中，将存货的估计的售价减去至完工时将要发生的成本以及售出时发生的相关税费。再比如，对于未来现金流量现值的确定，需要相关财务会计人员对折现率以及未来的现金流量做出合理的估计。
这些都需要企业的财务会计工作人员利用自身的职业素质和相关的经营做出估计，这种估计的主观性难免会使企业的会计信息失去客观性和准确性，企业能够利用这些主观性为其利润的调节创造有利的条件，可见这种做法无疑会损害企业投资者的利益。
从另一方面讲，企业的相关负责人利用谨慎性原则的模糊性界定，从而做出有利于企业粉饰财务报表，达到企业财务状况指标的目的，导致企业的财务会计形成“失真”的局面，这不仅是对企业会计准则的滥用也损害了企业投资者的切身利益是不道德的行为表现。
例如，作为美国最大的保健公司南方保健公司在2003年被查出高达27亿美元的会计造价，虚构其利润，成为“第二大会计造价大王”。在对南方保健公司的造假案例分析中，发现其会计工作人员在实际的会计工作中忽视了谨慎性原则的运用，利用该原则的主观性对其利润进行人为的调节。
(二)企业内部财务会计人员专业素质不高
企业会计准则对谨慎性原则的相关规定中，赋予了企业一定的主观性，使得企业能够根据具体环境的变化，使得企业内部的财务会计信息能够更加准确客观地反映企业的信息，从而有利于企业内外部相关主体的决策。相比较那些较为硬性的规定而言，具有弹性的规定需要大量的职业判断，而现阶段企业中普遍存在高素质的企业会计人员较为缺乏的状况。
一方面，由于对相关财务会计人才专业的培养面比较窄，使得他们掌握到的专业知识较为匮乏，不能够满足企业当前企业会计发展的需要。另一方面，对于财务会计人员自身来讲，他们满足于自身现有的知识把握，觉得实践经验能够补充他们后续知识的缺乏，而不主动积极学习企业会计准则的新规定和相关变化。
再者，对于企业自身来讲，除了财务会计人员对企业内部的财务状况了解之外，高级管理人员并不会花费很多的时间去了解企业真实的财务现实状况，从而忽视对财务会计人员专业知识的培养和培训。
以上教育的缺乏会导致企业内部会计人员专业素质跟不上时代的步伐，受到专业知识的限制，他们对谨慎性原则的运用也会存在这样那样的问题，使得财务会计信息具有一定的失真情形，应当引起企业管理人的重视。
(三)谨慎性原则与其他会计原则存在冲突
企业会计准则对会计信息的衡量具有不同的标准，这些标准在不同的方面对企业的会计信息进行了规范和约束，但是谨慎性原则在实际的运用过程中存在着与其他会计原则的冲突。对于客观性原则，它要求会计信息的披露以企业实际发生的经济业务为基础，如实反映企业的经营成果和财务状况。相比之下，谨慎性原则要求，当企业可能发现尚未发生的费用和损失时，企业应当对此进行记载和反映出来。
可见谨慎性原则和客观性原则存在着某方面的冲突。对于可比性原则和一致性原则来说，谨慎性原则与它们也存在着一定的冲突。可比性原则要求企业的财务会计信息与企业之间的财务会计信息具有可比性，使得投资者能够在不同的企业之间进行投资策略的分析，从而选择比较利于自己的投资的策略目标。
一致性要求企业的财务会计信息能够在不同的时期都能按照既定的财务会计信息衡量标准进行记载，这样与企业也有关的各个主体能够及时发现企业的相关变化情况，从而做出有利于自身利益的预测。
可见，虽然会计原则对企业会计信息的反映做出了不同角度的规范，但是真正要实现会计信息的客观公正，需要将不同的会计信息进行协调才能更加切合实际地反映出企业的实际情况。
二、完善谨慎性原则在会计工作中应用的措施
(一)削弱谨慎性原则在运用中的主观色彩
企业的财务会计负责人以及内部的主管人员之所以在会计核算过程中拥有谨慎性原则运用的主观判断性，是企业会计准则使企业自身更加具有主动性的相关规定。由于谨慎性原则没有要求一个既定的标准，才使得造假的案件频繁发生，屡禁不止。因此，要想削弱谨慎性原则在实际会计工作中运用的主观性，应当从以下方面入手。
首先，应当对我国现行的企业会计准则进行一定程度上的完善，使企业在进行实际的运用过程中能够把握一定的度，同时具有可操作性。比如，企业会计准则应当对相关的估计范围设定一定的范围，使企业的实际的工作中只能将其估计的结果保持在一定的限度之内，这样不仅能够使得相关的会计信息具有合理性和客观性，也能够使得各个企业之间的信息能够具有可比性。
其次，应当要求企业的财务会计报表的附注中详细披露会计项目采用谨慎性原则的具体情况，使得会计信息的披露更加的透明化，能够使企业的相关利益主体了解到企业最为真实的财务状况，从而规划自身的投资决策。
其次，加强企业内外部的监督。企业应当将对财务会计信息客观性和真实性的监督纳入到内部的审计监督当中，随时监督会计信息的质量。如果企业内部的审计监督不能达到相关的目标，应当建立企业外部的监督体系，外部监督与企业内部监督相比具有客观性，能够发挥其应有的作用。综上，企业可以通过上述措施加强对内部会计信息质量的监督从而达到预期的目的。
(二)提升企业财务会计人员的专业素质
对谨慎性原则的把握是企业内部财务会计人员的职责，这需要他们的专业素质作为支撑，如果他们的相关专业素质较高，那么企业的财务会计报告关于谨慎性原则的运用越具有现实可能性。因此，如何提升企业内部财务会计人员的专业素质成为了现阶段的切实需求。从相关的培训、教育机构来讲，他们应当充实财务会计的授课内容，将那些较为前卫的财务会计知识纳入到授课当中，丰富授课的.主题和形式，从而激发他们的学习乐趣和热情。
同时，在授课时在有条件的情况下聘任那些在财务会计领域较为领军的人物来进行相关课程的讲解，这样能够实现理论和实践的结合，达到理论指导实践的目的。从财务会计人员自身来讲，应当在平时的工作之余抽取实践阅读财务会计的新规定，对自身的实践工作进行思考，在学习中进步，将实践工作中认为不合适的经济业务处理和企业的财务负责人进行沟通。从企业来讲，应当对内部的财务会计人员安排定期或者不定期的培训工作，并采取措施确保相关人员出席课程的培训中。
另外，企业还可以财务奖励的措施，对于那些积极主动学习的财务会计人员给予物质和精神上的奖励。可见，对财务会计人员专业素质的提升，不仅仅是财务会计人员自身的责任，相关的主体应当充分发挥其作用，通过各种途径提升财务会计人员的专业素质，从而提高对谨慎性原则的运用。
(三)协调谨慎性原则与其他会计原则的冲突
谨慎性原则的运用是企业采用保守主义的体现，多估计费用和损失，少估利润和收益，这对于国家来说在一定程度上减少了财政收入的来源。因此，国家应当对企业对谨慎性原则与其他会计原则的运用进行协调。如果企业发生的经济业务与企业的投资者和企业的相关利益相关，应当充分发挥谨慎性原则的运用。
然而，会计财务信息是反映企业的实际发生的客观信息，也就是应当将客观性原则放在首位。而与可比性和一致性原则来比，企业应当选择适合本企业的会计方法，并将谨慎性原则运用其中，在不同的时期继续运用，这样才能实现会计信息横向和纵向的比较。
结论
谨慎性原则从实施以来，成为理论界和实务界讨论的焦点，不管讨论的结果怎样，它对企业会计信息的反映无疑是有利的。但是，有些企业出于对自身目的考虑，不管谨慎性原则运用的“精神”标准，从而滥用谨慎性原则达到提升企业利润以及粉饰企业财务报表的目的。
面对这些问题，企业和相关的财务会计主管部门应当对已经存在的问题进行充分的分析，并采取一定的措施，规制谨慎性原则的使用中的“度”的问题。综上所述，只有对反谨慎性原则在会计工作中的运用才能使其发挥出预期的作用，为投资者提供决策有用的会计信息，推动市场经济的发展。
参考文献：
[1] 胡雁平.论谨慎性原则在会计实务中的应用[J].山西财经大学学报，2014，(S1).
[2] 张丹丹，钟骏华.谨慎性原则在会计实务中的应用[J].合作经济与科技，2014，(23).
现在，确定性素数判定法已经有很多种，常用的有试除法、威廉斯方法、艾德利曼和鲁梅利法。它们的适用范围各不相同，威廉斯方法比较适合10^20到10^50之间的数，艾德利曼和鲁梅利法适合大于10^50的数，对于32位机器数，由于都小于10^10，所以一般都用试除法来判定。阿格拉瓦法虽然是log(n)的多项式级算法，但目前只有理论上的意义，根本无法实用，因为它的时间复杂度是O(log(n)^12)，这个多项式的次数太高了。就拿最慢的试除法跟它来比吧，试除法的时间复杂度为O(n^(1/2)*log(n)^2)，当n = 16时，log(n)^12 = 16777216，而n^(1/2)*log(n)^2 = 64，你看相差有多么大！如果要让两者速度相当，即log(n)^12 = n^(1/2)*log(n)^2，得出n = 10^，此时需要进行的运算次数为log(n)^12 = 10^（注意：本文中log（）函数缺省以2为底），这样的运算次数在一台主频3GHz的计算机上运行也要10^年才能运行完，除了这些确定性素数判定法外，还有基于概率的非确定性素数判定法，最常用的就是米勒-拉宾法。
自然数中有一种特别基本又特别重要的数，称为“素数”。 素数是大于1的自然数中，只能被自己和1整除的数； 大于1的自然数中不是素数的都称为“合数”； 1则既不是素数也不是合数。 由于在大于1的自然数中，素数的因子最少，所以素数是特别简单的数。 素数最主要的应用在密码学-RSA加密，它在网络安全领域中相当重要，利用素数对信息进行加密可以保护国家情报和战时的军事机密，使安全性大大提高。
因为因为素数没有一个特别的规律，引发了科学家的很多猜想；在生活中他对我们的生活非常的便捷，也可以让我们学会到更多的数学和科学知识。
大家一定从小就开始奇怪了，0到底是怎么来的呢？关于0的起源，有以下几种观点。①、古的0的符号是用空位来表示的，例如要表示一百零一，古写作1。1②、在古印度数学中，发现0的最早记载是公元876年，欧洲许多数学家都同意这一观点。公元6世纪，印度人就开始用“?”,后来变成了一个圆圈。到了公元九世纪就固定成了今天的“0”。③、0的故乡在中国。我国最早的诗歌总集《诗经》中就有0的记载，只不过当时0的意思是“暴风雨末了的小雨滴”。在我国的结绳记数法中，0是在对“有”的否定中出现的，意思是“没有”。总之，有关0的起源还没有一个定论。但是无论如何，0自从一出现就具有非常旺盛的生命力，现在，它广泛应用于社会的各个领域。在课堂上，常听老师说，0就是没有的意思，你有0元钱，就代表没有钱；你有0支笔，就代表你没有笔。在这样的情况下，温度表上的0度就代表着没有温度吗？答案肯定是否定的。纯净的冰水混合物的温度就是0度。想一想我们四年级学的素数与合数吧！老师是这样解释的“自然数可以分成3类：1、素数与合数，一个自然数只有一和它本身两个因数的数是素数，因数大于3个就是合数，1单独为一种。”那0也是自然数，它是最小的自然数，0到底是质数还是合数呢？这个谁也说不清楚。我还有一个关于0的问题，自然数也可以分成奇数与偶数，能被2整除的数就是合数，反之就是奇数。0是奇数还是偶数呢？看上去像偶数，但又说不准，到底是什么数谁也不清楚。0还有许多奇妙有趣的事就在我们身边呢，大家一起来发现吧！以前写的。祝你成功！
数论中除了整除以外，还有一个很重要也很难的知识点，就是余数，理解余数性质时，要与整除性联系起来，从被除数中减掉余数，那么所得到的差就能够被除数整除了．在一些题目中因为余数的存在，不便于我们计算，去掉余数，回到我们比较熟悉的整除性问题，那么问题就会变得简单了，这样就需要用到余数中一个非常重要的定理—同余定理。
同余定义 如果a，b除以c的余数相同，就称a，b对于除数c来说是同余的，且有a与b的差能被c整除．（a，b，c均为自然数） 例如：17与13除以3的余数都是2，所以(17－11)能被3整除．
同余定理 ①如果 a%b = c, 则有(a+kb)%b = c; (k为非0整数) ②如果 a%b = c, 则有(k*a)%b = k*c%b; (k为正整数) ③(a+b)%c = ((a%c) + (b%c)) % c; ④(a*b)%c = ((a%c)*(b%c)) % c;
（一） 可加性 a与b的和除以c的余数，等于a，b分别除以c的余数之和（或这个和除以c的余数）． 例如：23，16除以5的余数分别是3和1，所以(23+16)除以5的余数等于3+1=4． 注意：当余数之和大于除数时，所求余数等于余数之和再除以c的余数． 例如：23，19除以5的余数分别是3和4，所以(23+19)除以5的余数等于(3+4)除以5的余数。
（二） 可减性 a与b的差除以c的余数，等于a，b分别除以c的余数之差． 例如：23，16除以5的余数分别是3和1，所以(23－16)除以5的余数等于3－1=2． 注意：当较大数的余数小于较小数的余数时，所求余数等于c减去余数之差． 例如：23，19除以5的余数分别是3和4，所以 除以(23－19)的余数等于5－(4－3)=4.
（三） 可乘性 a与b的乘积除以c的余数，等于a，b分别除以c的余数之积（或这个积除以c的余数）． 例如：23，16除以5的余数分别是3和1，所以除以5的余数等于3*1 = 3． 注意：当余数之积大于除数时，所求余数等于余数之积再除以c的余数． 例如：23，19除以5的余数分别是3和4，所以 除以5的余数等于3*4除以5的余数．
（四） 乘方性 如果a与b除以m的余数相同，那么a^n与b^n除以m的余数也相同，但不一定等于原余数． 例如：3，7除以4的余数都是3，可以算得3^2和7^2除以4的余数都等于1，它们的余数相等但不一定等于3. 余数判别法 当一个数N不能被另一个数整除时，虽然可以用长除法去求得余数，但当被除位数较多时，计算是很麻烦的．建立余数判别法的基本思想是：为了求出“N被m除的余数”，我们希望找到一个较简单的数R，使得：N与R对于除数m同余．由于R是一个较简单的数，所以可以通过计算R被m除的余数来求得N被m除的余数．
下面列出几个常用到的规律：
再加一个整理的结论： 能被7、13、11整除的特征（实际是一个方法）是这样的： 将一个多于4位的整数在百位与千位之间分为两截，形成两个数，左边的数原来的千位、万位成为个位、十位（依次类推）。 将这两个新数相减（较大的数减较小的数），所得的差不改变原来数能被7、11、13整除的特性，如果所得的差依然大于999，再次进行上一步，直到所得的差小于1000为止。 例如：判断71858332能否被7、11、13整除，这个数比较大， 将它分成71858、332两个数（右边是三位数） 71858-332=71526; 再将71526分成71、526两个数（右边是三位数） 526-71=455; 由于455数比原数小得多， 相对来说容易判断455能被7和13整除，不能被11整除， 所以原来的71858332能被7和13整除，不能被11整除。
同余问题
"差同减差，和同加和，余同取余，最小公倍加"
所谓同余问题，就是给出“一个数除以几个不同的数”的余数，反求这个数，称作同余问题。 首先要对这几个不同的数的最小公倍数心中有数，下面以4、5、6为例，请记住它们的最小公倍数是60。
1、差同减差：用一个数除以几个不同的数，得到的余数，与除数的差相同， 此时反求的这个数，可以选除数的最小公倍数，减去这个相同的差数，称为：“差同减差”。 例：“一个数除以4余1，除以5余2，除以6余3”，因为4-1=5-2=6-3=3，所以取-3，表示为60n-3。
2、和同加和：用一个数除以几个不同的数，得到的余数，与除数的和相同， 此时反求的这个数，可以选除数的最小公倍数，加上这个相同的和数，称为：“和同加和”。 例：“一个数除以4余3，除以5余2，除以6余1”，因为4+3=5+2=6+1=7，所以取+7，表示为60n+7。
3、余同取余：用一个数除以几个不同的数，得到的余数相同， 此时反求的这个数，可以选除数的最小公倍数，加上这个相同的余数，称为：“余同取余”。 例：“一个数除以4余1，除以5余1，除以6余1”，因为余数都是1，所以取+1，表示为60n+1。
4、最小公倍加：所选取的数加上除数的最小公倍数的任意整数倍（即上面1、2、3中的60n）都满足条件， 称为：“最小公倍加”，也称为：“公倍数作周期”。
一般关于余数的题目根据"差同减差，和同加和，余同取余，最小公倍加"就可以解出正确答案，但是好多关于余数的题目，不是仅仅知道上面17个字就能解题的，是对余数三大定理的灵活应用。
下面列几个例题，涉及中国剩余定理和大数求余通过同余性质化大为小
((2001 + 2)^2)^100=(A + 4B + 3 + 1)^100 = (C + 1)^100这里有50个(C+1)^2相乘，每一个的常数项均为1其他的带字母项均能被3整除则余数为 = (14+5)^6=(A + 10B + 21 + 4)^3=(C+4)^2 * (C+4)=(D + 14 + 2)(C+4)= E + 8= E + 7 + 1= F + 1F是7的整数倍，再多一天那么这天是星期一的后面一天，就是星期二了。((3160 + 4)^2)^1001=(A + B + 15 + 1)^1001=(C+1)^1001=(C+1)^1000 * (C+1)=(C+1)(D+1)理论同1题，余数也为 (A + 2)^6 = (B + 4)^3=(B+4)^2 * (B+4)=(C + 9 + 7)(B +4)= D + 28 = D + 27 + 1余数为15，6，7，8均可采用此类方法 + 2^2 + 3^3 + 4^4 + 5^5 + 6^6 + 7^7 +8^8 +9^9=1 + (3 + 1) + 3^3 + (3+1)^4 + (3+2)^5 + 6^6 + (6+1)^7 + (6 + 2)^8 + 9^9= 1 + 1 + 0 + 1 + A +(3+2)^5 + (6+1)^7 + (6 + 2)^8= B + (3+2)^5 + (6+1)^7 + (6 + 2)^8后面解法同上10.(7^7)^7=7^49= (5 + 2)^48 * 7= (A + 4)^24 *7= (B + 15 + 1)^12 *7= (C + 1) ^12 * 7= (D + 1 ) *7= E + 7 = E + 5 + 2余数为2如果此批题有疑问，欢迎追问或者另行开题追答。