关于线性代数，首先搞清楚线代都能干什么:求Ax=B的时候，我们不是基于求解具体的解，而是先研究A的各种特性，看看这些特性是如何影响Ax=B的解的。所有的特性就是行列式，矩阵，秩，特征向量和特征值，等等。这就是线性代数的主要内容。它的应用就是对于向量和方程作正交分解(对角化，特征向量)，达到降低方程组维数的作用，使得经典方法那一求解的问题变得可解，应用在图像处理，天气预测等诸多领域。具体的你可以看看我的blog的讲解。--------------------------------------漫谈高数(二)方程和矩阵的物理含义漫谈高数(三)线性相关和秩的物理意义漫谈高数(四)特征向量物理意义漫谈高数(七)正交,相关,消元漫谈高数(八)正交分析和谱分析
1、论文题目：要求准确、简练、醒目、新颖。2、目录：目录是论文中主要段落的简表。（短篇论文不必列目录）3、提要：是文章主要内容的摘录，要求短、精、完整。字数少可几十字，多不超过三百字为宜。4、关键词或主题词：关键词是从论文的题名、提要和正文中选取出来的，是对表述论文的中心内容有实质意义的词汇。关键词是用作机系统标引论文内容特征的词语，便于信息系统汇集，以供读者检索。 每篇论文一般选取3-8个词汇作为关键词，另起一行，排在“提要”的左下方。主题词是经过规范化的词，在确定主题词时，要对论文进行主题，依照标引和组配规则转换成主题词表中的规范词语。5、论文正文：（1）引言：引言又称前言、序言和导言，用在论文的开头。 引言一般要概括地写出作者意图，说明选题的目的和意义, 并指出论文写作的范围。引言要短小精悍、紧扣主题。〈2）论文正文：正文是论文的主体，正文应包括论点、论据、 论证过程和结论。主体部分包括以下内容：a.提出-论点；b.分析问题-论据和论证；c.解决问题-论证与步骤；d.结论。6、一篇论文的参考文献是将论文在和写作中可参考或引证的主要文献资料，列于论文的末尾。参考文献应另起一页，标注方式按《GB7714-87文后参考文献著录规则》进行。中文：标题--作者--出版物信息（版地、版者、版期）：作者--标题--出版物信息所列参考文献的要求是：（1）所列参考文献应是正式出版物，以便读者考证。（2）所列举的参考文献要标明序号、著作或文章的标题、作者、出版物信息。
矩阵的逆等于伴随矩阵除以矩阵的行列式，所以现在只要求原矩阵的行列式即可。
A^*=A^(-1)|A|,
两边同时取行列式得
|A^*|=|A|^2 （因为是三阶矩阵）
又|A^*|=4,|A|>0,所以|A|=2
所以A^(-1)=A^(*)/2,就是伴随矩阵除以2。
特殊求法：
（1）当矩阵是大于等于二阶时 ：
主对角元素是将原矩阵该元素所在行列去掉再求行列式，非主对角元素是原矩阵该元素的共轭位置的元素去掉所在行列求行列式乘以 ， x，y为该元素的共轭位置的元素的行和列的序号，序号从1开始。主对角元素实际上是非主对角元素的特殊情况，因为x=y，所以 ，一直是正数，没必要考虑主对角元素的符号问题。
（2）当矩阵的阶数等于一阶时，伴随矩阵为一阶单位方阵。
（3）二阶矩阵的求法口诀：主对角线元素互换，副对角线元素加负号。
矩阵性质
矩阵是线性代数的主要内容，很多实际问题用矩阵的思想去解既简单又快捷。逆矩阵又是矩阵理论的很重要的内容，逆矩阵的求法自然也就成为线性代数研究的主要内容之一。
设A是数域上的一个n阶方阵，若在相同数域上存在另一个n阶矩B，使得： AB=BA=E。 则我们称B是A的逆矩阵，而A则被称为可逆矩阵。其中，E为单位矩阵。
典型的矩阵求逆方法有：利用定义求逆矩阵、初等变换法、伴随阵法、恒等变形法等。
线性代数是数学的一个分支，它的研究对象是向量，向量空间（或称线性空间），线性变换和有限维的线性方程组。向量空间是现代数学的一个重要课题；因而，线性代数被广泛地应用于抽象代数和泛函分析中；通过解析几何，线性代数得以被具体表示。线性代数的理论已被泛化为算子理论。由于科学研究中的非线性模型通常可以被近似为线性模型，使得线性代数被广泛地应用于自然科学和社会科学中。中文名线性代数外文名linear algebra主要问题线性关系问题研究对象向量、矩阵、行列式应用抽象代数、泛函分析定义与历史概念线性代数是代数学的一个分支，主要处理线性关系问题。线性关系意即数学对象之间的关系是以一次形式来表达的。例如，在解析几何里，平面上直线的方程是二元一次方程；空间平面的方程是三元一次方程，而空间直线视为两个平面相交，由两个三元一次方程所组成的方程组来表示。含有n个未知量的一次方程称为线性方程。关于变量是一次的函数称为线性函数。线性关系问题简称线性问题。解线性方程组的问题是最简单的线性问题。所谓“线性”，指的就是如下的数学关系：。其中，f叫线性算子或线性映射。所谓“代数”，指的就是用符号代替元素和运算，也就是说：我们不关心上面的x，y是实数还是函数，也不关心f是多项式还是微分，我们统一把他们都抽象成一个记号，或是一类矩阵。合在一起，线性代数研究的就是：满足线性关系的线性算子f都有哪几类，以及他们分别都有什么性质。[1]历史线性代数作为一个独立的分支在20世纪才形成，然而它的历史却非常久远。“鸡兔同笼”问题实际上就是一个简单的线性方程组求解的问题。最古老的线性问题是线性方程组的解法，在中国古代的数学著作《九章算术·方程》章中，已经作了比较完整的叙述，其中所述方法实质上相当于现代的对方程组的增广矩阵的行施行初等变换，消去未知量的方法。九章算术由于费马和笛卡儿的工作，现代意义的线性代数基本上出现于十七世纪。直到十八世纪末，线性代数的领域还只限于平面与空间。十九世纪上半叶才完成了到n维线性空间的过渡。随着研究线性方程组和变量的线性变换问题的深入，行列式和矩阵在18～19世纪期间先后产生，为处理线性问题提供了有力的工具，从而推动了线性代数的发展。向量概念的引入，形成了向量空间的概念。凡是线性问题都可以用向量空间的观点加以讨论。因此，向量空间及其线性变换，以及与此
-----------首先你要了解初等变换。------------------初等变换就3种。1. E12 就是吧12行（列）互换2. E12(K)就是把第1行（列）的K倍加到第2（行）3. E1（K）就是把第1行都乘上K----------------------------------然后了解如何化最简型--------------------------------------怎样化行最简：这个其实很简单，一步一步来不要话错了就行了。无非就是要化成阶梯形，然后再把阶梯开头的元素化为1，他头顶上的元素化为0嘛比如一个4阶矩阵。首先你要把第一列，除了第一个元素都化成0。那么显然，就是用第二行，第三行，第四行，去减第一行的k倍。假设。第一行是（1,2,3,4）第二行第一个元素是3，那么你用第二行减去第一行的3倍的话，头一个元素不就肯定是0了吗。然后假设第三行第一个元素是4，那么就是第三行减去第一行的4倍。同理第四行也是一样的。此时你只要关注第一列的元素就行了，全力把他们化为0。等到完成的时候，矩阵就变成1 2 3 40 * * *0 * * *0 * * *这样就出来一个阶梯了对吧。下面就是重复上面的工作。不过。不要在整个矩阵里面进行了，因为如果你带着第一行算的话，前面的0就肯定会被破坏了。下面你就直接在* 的那个3阶矩阵里面进行。把原来的第二行 0 * * *当作第一行来化下面的，完工之后就是1 2 3 40 * * *0 0 * *0 0 * * 不就又出来一个阶梯吗。反复这么做最后就化成1 2 3 40 * * *0 0 * *0 0 0 *这个就是阶梯形了吧。。然后化最简形就很简单了。用初等变化的第3条。显然我们可以吧最后一行的那个*除以他自己变成11 2 3 40 * * 40 0 * 40 0 0 1然后他头上的数，不论是多少都可以写成0，因为不论是多少，总可以化为0吧，如果是2012，就减去第四行的2012倍嘛，反正第四行只有一个1，前面都是0，怎么减都不会影响到前面的行这样就化成了1 2 3 00 * * 00 0 * 00 0 0 1很显然，重复上面的过程就可以了，现在只要把第三行的那个*，除以自己，变成1，然后他头上的也就全可以化为0了1 2 0 00 * 0 00 0 1 00 0 0 1再来一次。就ok了嘛-----------------------------------------------初等变换求逆矩阵--------------------------------------------比如你求A的逆矩阵，就是把A的右边拼上一个同阶的单位阵变成（A|E）1 2 3 1 0 0 4 5 6 0 1 07 8 9 0 0 1然后把这个矩阵当作新的矩阵，然后就把左面那个部分化成单位阵（方法就是化最简型嘛），当你把左面的部分化成单位阵之后，右边就自动是A的逆矩阵了（E|A逆）就是这样。嗯----------------------------------
一般有2种方法。
1、伴随矩阵法。A的逆矩阵=A的伴随矩阵/A的行列式。
2、初等变换法。A和单位矩阵同时进行初等行（或列）变换，当A变成单位矩阵的时候，单位矩阵就变成了A的逆矩阵。
第2种方法比较简单，而且变换过程还可以发现矩阵A是否可逆（即A的行列式是否等于0）。矩阵可逆的充要条件是系数行列式不等于零。
矩阵求逆，即求矩阵的逆矩阵。
矩阵是线性代数的主要内容，很多实际问题用矩阵的思想去解既简单又快捷。逆矩阵又是矩阵理论的很重要的内容，逆矩阵的求法自然也就成为线性代数研究的主要内容之一。设A是数域上的一个n阶方阵，若在相同数域上存在另一个n阶矩B，使得： AB=BA=E。 则我们称B是A的逆矩阵，而A则被称为可逆矩阵。其中，E为单位矩阵。
首先我把我个人感觉告诉你1.高数比线代难2.两者相互联系很小,不学高数,也能学会线代,也就是说随便学哪个,对另一个都没什么影响,学校开课是先学高数,但我觉得两者没什么共性3.线代其实只要学过高中的行列式,入门是很快的,而高数要花的功夫就比较多了
（1）原向量组b1,b2,...,bn线性无关，“增长”后，得到a1,a2,...,an假设a1,a2,...,an线性相关，则存在不全为0的数k1,...,kn，使得k1a1+k2a2+...+knan=0则只观察向量组中，每个向量前面部分的分量，显然有k1b1+k2b2+...+knbn=0由于k1,...,kn不全为0，根据线性相关的定义，得知原向量组b1,b2,...,bn线性相关，得出矛盾！因此假设不成立，从而“增长”后，仍线性无关（2）因为a1,a2,...,an线性相关，则存在不全为0的数k1,...,kn，使得k1a1+k2a2+...+knan=0不妨设各向量分量“缩短”之后，分别是b1,b2,...,bn则显然有k1b1+k2b2+...+knbn=0由于k1,...,kn不全为0，根据线性相关的定义，得知原向量组b1,b2,...,bn线性相关。
[证明] (方法一:构造法)见下图\x0d \x0d[证明] (方法二:利用特征值与特征向量)见下图\x0d \x0d[证明] (方法三:利用极小多项式) \x0d因为A满足A2 + 2A-3E = O,即(A-E)(A +3E) = O,\x0d所以A的极小多项式没有重根,\x0d(事实上,A的极小多项式是(x-1)(x+3)的因子) \x0d故A相似于对角矩阵D,其对角线上的元素只能为1或-3.\x0d[参考文献] 张小向,陈建龙,线性代数学习指导,科学出版社,2008.\x0d周建华,陈建龙,张小向,几何与代数,科学出版社,2009.
从几何意义来说，每个向量都是有其他若干个向量的倍数以及和构成的。即可v= av1+bv2
先把向量组的各列向量拼成一个矩阵，并施行初等行变换变成行阶梯矩阵，即可同时看出矩阵的秩。若矩阵A秩小于向量个数m，则向量组线性相关；若矩阵A秩等于向量个数m，则向量组线性无关。这两个互为充要条件。参考文献：《工程数学线性代数同济第六版》p87-88
[1] 北京大学数学系几何与代数教研代数小组 编《高等代数》（第二版）北京高等出版社，1988[2] 熊廷煌 主编《高等代数简明教程》武汉湖北教育出版社，1987[3] 霍元极 主编《高等代数》北京师范大学出版社，1988[4] 丘维声 主编《高等代数》（上册）高等教育出版社，1996[5] 关治，陈精良《数学计算方法》北京清华大学出版社，1990[6] 邓建中，刘之行 《计算方法》西安交通大学出版社，2001[7] 张元达 《线性代数原理》上海教育出版社，1980[8] 蒋尔雄，等《线性代数》人民教育出版社，1978
初等代数从最简单的一元一次方程开始，一方面进而讨论二元及三元的一次方程组，另一方面研究二次以上及可以转化为二次的方程组。沿着这两个方向继续发展，代数在讨论任意多个未知数的一次方程组，也叫线型方程组的同时还研究次数更高的一元方程组。发展到这个阶段，就叫做高等代数。 高等代数是代数学发展到高级阶段的总称，它包括许多分支。现在大学里开设的高等代数，一般包括两部分：线性代数初步、多项式代数。 高等代数在初等代数的基础上研究对象进一步的扩充，引进了许多新的概念以及与通常很不相同的量，比如最基本的有集合、向量和向量空间等。这些量具有和数相类似的运算的特点，不过研究的方法和运算的方法都更加繁复。 集合是具有某种属性的事物的全体；向量是除了具有数值还同时具有方向的量；向量空间也叫线性空间，是由许多向量组成的并且符合某些特定运算的规则的集合。向量空间中的运算对象已经不只是数，而是向量了，其运算性质也由很大的不同了。 高等代数发展简史 代数学的历史告诉我们，在研究高次方程的求解问题上，许多数学家走过了一段颇不平坦的路途，付出了艰辛的劳动。 人们很早就已经知道了一元一次和一元二次方程的求解方法。关于三次方程，我国在公元七世纪，也已经得到了一般的近似解法，这在唐朝数学家王孝通所编的《缉古算经》就有叙述。到了十三世纪，宋代数学家秦九韶再他所著的《数书九章》这部书的“正负开方术”里，充分研究了数字高次方程的求正根法，也就是说，秦九韶那时候以得到了高次方程的一般解法。 在西方，直到十六世纪初的文艺复兴时期，才由有意大利的数学家发现一元三次方程解的公式——卡当公式。 在数学史上，相传这个公式是意大利数学家塔塔里亚首先得到的,后来被米兰地区的数学家卡尔达诺(1501～1576)到了这个三次方程的解的公式，并发表在自己的著作里。所以现在人们还是叫这个公式为卡尔达诺公式(或称卡当公式)，其实，它应该叫塔塔里亚公式。 三次方程被解出来后，一般的四次方程很快就被意大利的费拉里(1522～1560)解出。这就很自然的促使数学家们继续努力寻求五次及五次以上的高次方程的解法。遗憾的是这个问题虽然耗费了许多数学家的时间和精力，但一直持续了长达三个多世纪，都没有解决。 到了十九世纪初，挪威的一位青年数学家阿贝尔(1802～1829)证明了五次或五次以上的方程不可能有代数解。既这些方程的根不能用方程的系数通过加、减、乘、除、乘方、开方这些代数运算表示出来。阿贝尔的这个证明不但比较难，而且也没有回答每一个具体的方程是否可以用代数方法求解的问题。 后来，五次或五次以上的方程不可能有代数解的问题，由法国的一位青年数学家伽罗华彻底解决了。伽罗华20岁的时候，因为积极参加法国资产阶级革命运动，曾两次被捕入狱，1832年4月，他出狱不久，便在一次私人决斗中死去，年仅21岁。 伽罗华在临死前预料自己难以摆脱死亡的命运，所以曾连夜给朋友写信，仓促地把自己生平的数学研究心得扼要写出，并附以论文手稿。他在给朋友舍瓦利叶的信中说：“我在分析方面做出了一些新发现。有些是关于方程论的；有些是关于整函数的……。公开请求雅可比或高斯，不是对这些定理的正确性而是对这些定理的重要性发表意见。我希望将来有人发现消除所有这些混乱对它们是有益的。” 伽罗华死后，按照他的遗愿，舍瓦利叶把他的信发表在《百科评论》中。他的论文手稿过了14年，才由刘维尔(1809～1882)编辑出版了他的部分文章，并向数学界推荐。 随着时间的推移，伽罗华的研究成果的重要意义愈来愈为人们所认识。伽罗华虽然十分年轻，但是他在数学史上做出的贡献，不仅是解决了几个世纪以来一直没有解决的高次方程的代数解的问题，更重要的是他在解决这个问题中提出了“群”的概念，并由此发展了一整套关于群和域的理论，开辟了代数学的一个崭新的天地，直接影响了代数学研究方法的变革。从此，代数学不再以方程理论为中心内容，而转向对代数结构性质的研究，促进了代数学的进一步的发展。在数学大师们的经典著作中，伽罗华的论文是最薄的，但他的数学思想却是光辉夺目的。 高等代数的基本内容 代数学从高等代数总的问题出发，又发展成为包括许多独立分支的一个大的数学科目，比如：多项式代数、线性代数等。代数学研究的对象，也已不仅是数，还有矩阵、向量、向量空间的变换等，对于这些对象，都可以进行运算。虽然也叫做加法或乘法，但是关于数的基本运算定律，有时不再保持有效。因此代数学的内容可以概括为研究带有运算的一些集合，在数学中把这样的一些集合叫做代数系统。比如群、环、域等。 多项式是一类最常见、最简单的函数，它的应用非常广泛。多项式理论是以代数方程的根的计算和分布作为中心问题的，也叫做方程论。研究多项式理论，主要在于探讨代数方程的性质，从而寻找简易的解方程的方法。 多项式代数所研究的内容，包括整除性理论、最大公因式、重因式等。这些大体上和中学代数里的内容相同。多项式的整除性质对于解代数方程是很有用的。解代数方程无非就是求对应多项式的零点，零点不存在的时候，所对应的代数方程就没有解。 我们知道一次方程叫做线性方程，讨论线性方程的代数就叫做线性代数。在线性代数中最重要的内容就是行列式和矩阵。 行列式的概念最早是由十七世纪日本数学家关孝和提出来的，他在1683年写了一部叫做《解伏题之法》的著作，标题的意思是“解行列式问题的方法”，书里对行列式的概念和它的展开已经有了清楚的叙述。欧洲第一个提出行列式概念的是德国的数学家莱布尼茨。德国数学家雅可比于1841年总结并提出了行列式的系统理论。 行列式有一定的计算规则，利用行列式可以把一个线性方程组的解表示成公式，因此行列式是解线性方程组的工具。行列式可以把一个线性方程组的解表示成公式，也就是说行列式代表着一个数。 因为行列式要求行数等于列数，排成的表总是正方形的，通过对它的研究又发现了矩阵的理论。矩阵也是由数排成行和列的数表，可以行数和烈数相等也可以不等。 矩阵和行列式是两个完全不同的概念，行列式代表着一个数，而矩阵仅仅是一些数的有顺序的摆法。利用矩阵这个工具，可以把线性方程组中的系数组成向量空间中的向量；这样对于一个多元线性方程组的解的情况，以及不同解之间的关系等等一系列理论上的问题，就都可以得到彻底的解决。矩阵的应用是多方面的，不仅在数学领域里，而且在力学、物理、科技等方面都十分广泛的应用。 代数学研究的对象，不仅是数，也可能是矩阵、向量、向量空间的变换等，对于这些对象，都可以进行运算，虽然也叫做加法或乘法，但是关于数的基本运算定律，有时不再保持有效。因此代数学的内容可以概括称为带有运算的一些集合，在数学中把这样的一些集合，叫做代数系统。比较重要的代数系统有群论、环论、域论。群论是研究数学和物理现象的对称性规律的有力工具。现在群的概念已成为现代数学中最重要的，具有概括性的一个数学的概念，广泛应用于其他部门。 高等代数与其他学科的关系 代数学、几何学、分析数学是数学的三大基础学科，数学的各个分支的发生和发展，基本上都是围绕着这三大学科进行的。那么代数学与另两门学科的区别在哪儿呢？ 首先，代数运算是有限次的，而且缺乏连续性的概念，也就是说，代数学主要是关于离散性的。尽管在现实中连续性和不连续性是辩证的统一的，但是为了认识现实，有时候需要把它分成几个部分，然后分别地研究认识，在综合起来，就得到对现实的总的认识。这是我们认识事物的简单但是科学的重要手段，也是代数学的基本思想和方法。代数学注意到离散关系，并不能说明这时它的缺点，时间已经多次、多方位的证明了代数学的这一特点是有效的。 其次，代数学除了对物理、化学等科学有直接的实践意义外，就数学本身来说，代数学也占有重要的地位。代数学中发生的许多新的思想和概念，大大地丰富了数学的许多分支，成为众多学科的共同基础。
1、论文题目：要求准确、简练、醒目、新颖。2、目录：目录是论文中主要段落的简表。（短篇论文不必列目录）3、提要：是文章主要内容的摘录，要求短、精、完整。字数少可几十字，多不超过三百字为宜。4、关键词或主题词：关键词是从论文的题名、提要和正文中选取出来的，是对表述论文的中心内容有实质意义的词汇。关键词是用作机系统标引论文内容特征的词语，便于信息系统汇集，以供读者检索。 每篇论文一般选取3-8个词汇作为关键词，另起一行，排在“提要”的左下方。主题词是经过规范化的词，在确定主题词时，要对论文进行主题，依照标引和组配规则转换成主题词表中的规范词语。5、论文正文：（1）引言：引言又称前言、序言和导言，用在论文的开头。 引言一般要概括地写出作者意图，说明选题的目的和意义, 并指出论文写作的范围。引言要短小精悍、紧扣主题。〈2）论文正文：正文是论文的主体，正文应包括论点、论据、 论证过程和结论。主体部分包括以下内容：a.提出-论点；b.分析问题-论据和论证；c.解决问题-论证与步骤；d.结论。6、一篇论文的参考文献是将论文在和写作中可参考或引证的主要文献资料，列于论文的末尾。参考文献应另起一页，标注方式按《GB7714-87文后参考文献著录规则》进行。中文：标题--作者--出版物信息（版地、版者、版期）：作者--标题--出版物信息所列参考文献的要求是：（1）所列参考文献应是正式出版物，以便读者考证。（2）所列举的参考文献要标明序号、著作或文章的标题、作者、出版物信息。
线性代数是高等代数的一大分支.我们知道一次方程叫做线性方程,讨论线性方程及线性运算的代数就叫做线性代数.在线性代数中最重要的内容就是行列式和矩阵.行列式和矩阵在十九世纪受到很大的注意 , 而且写了成千篇关于这两个课题的文章.向量的概念 , 从数学的观点来看不过是有序三元数组的一个集合 , 然而它以力或速度作为直接的物理意义 , 并且数学上用它能立刻写出 物理上所说的事情.向量用于梯度 , 散度 , 旋度就更有说服力.同样 , 行列式和矩阵如导数一样（虽然 dy/dx 在数学上不过是一个符号 , 表示包括△y/△x的极限的长式子 , 但导数本身是一个强有力的概念 , 能使我们直接而创造性地想象物理上发生的事情）.因此,虽然表面上看,行列式和矩阵不过是一种语言或速记,但它的大多数生动的概念能对新的思想领域提供钥匙.然而已经证明这两个概念是数学物理上高度有用的工具. 线性代数学科和矩阵理论是伴随着线性系统方程系数研究而引入和发展的. 行列式的概念最早是由十七世纪日本数学家关孝和提出来的,他在 1683 年写了一部叫做《解伏题之法》的著作,意思是 “ 解行列式问题的方法 ” ,书里对行列式的概念和它的展开已经有了清楚的叙述.欧洲第一个提出行列式概念的是德国的数学家, 微积分学奠基人之一 莱布 尼 兹 （ Leibnitz , 1693 年） . 1750 年 克莱姆（ Cramer ） 在他的《线性代数分析导言》（ Introduction d l'analyse des lignes courbes alge'briques ）中 发表了求解线性系统方程的重要基本公式（既人们熟悉的 Cramer 克莱姆法则）. 1764 年 , Bezout 把确定行列式每一项的符号的手续系统化了.对给定了含 n 个未知量的 n 个齐次线性方程 , Bezout 证明了系数行列式等于零是这方程组有非零解的条件. Vandermonde 是第一个对行列式理论进行系统的阐述 ( 即把行列 ' 式理论与线性方程组求解相分离 ) 的人.并且给出了一条法则,用二阶子式和它们的余子式来展开行列式.就对行列式本身进行研究这一点而言,他是这门理论的奠基人. Laplace 在 1772 年的论文《对积分和世界体系的探讨》中 , 证明了 Vandermonde 的一些规则 , 并推广了他的展开行列式的方法 , 用 r 行中所含的子式和它们的余子式的集合来展开行列式,这个方法现在仍然以他的名字命名. 德国数学家雅可比（ Jacobi ）也于 1841 年总结并提出了行列式的系统理论.另一个研究行列式的是法国最伟大的数学家 柯西 (Cauchy) ,他大大发展了行列式的理论,在行列式的记号中他把元素排成方阵并首次采用了双重足标的新记法,与此同时发现两行列式相乘的公式及改进并证明了 laplace 的展开定理.相对而言,最早利用矩阵概念的是 拉格朗日（ Lagrange ） 在 1700 年后的双线性型工作中体现的.拉格朗日期望了解多元函数的最大、最小值问题,其方法就是人们知道的拉格朗日迭代法.为了完成这些,他首先需要一阶偏导数为 0 ,另外还要有二阶偏导数矩阵的条件.这个条件就是今天所谓的正、负的定义.尽管拉格朗日没有明确地提出利用矩阵. 高斯（ Gauss ） 大约在 1800 年提出了高斯消元法并用它解决了天体计算和后来的地球表面测量计算中的最小二乘法问题.（这种涉及测量、求取地球形状或当地精确位置的应用数学分支称为测地学.）虽然高斯由于这个技术成功地消去了线性方程的变量而出名,但早在几世纪中国人的手稿中就出现了解释如何运用“高斯”消去的方法求解带有三个未知量的三方程系统.在当时的几年里,高斯消去法一直被认为是测地学发展的一部分,而不是数学.而高斯 - 约当消去法则最初是出现在由 Wilhelm Jordan 撰写的测地学手册中.许多人把著名的数学家 Camille Jordan 误认为是“高斯 - 约当”消去法中的约当. 矩阵代数的丰富发展,人们需要有合适的符号和合适的矩阵乘法定义.二者要在大约同一时间和同一地点相遇. 1848 年英格兰的 . Sylvester 首先提出了矩阵这个词,它来源于拉丁语,代表一排数. 1855 年矩阵代数得到了 Arthur Cayley 的工作培育. Cayley 研究了线性变换的组成并提出了矩阵乘法的定义,使得复合变换 ST 的系数矩阵变为矩阵 S 和矩阵 T 的乘积.他还进一步研究了那些包括矩阵逆在内的代数问题.著名的 Cayley- Hamilton 理论即断言一个矩阵的平方就是它的特征多项式的根,就是由 Cayley 在 1858 年在他的矩阵理论文集中提出的.利用单一的字母 A 来表示矩阵是对矩阵代数发展至关重要的.在发展的早期公式 det( AB ) = det( A )det( B ) 为矩阵代数和行列式间提供了一种联系. 数学家 Cauchy 首先给出了特征方程的术语,并证明了阶数超过 3 的矩阵有特征值及任意阶实对称行列式都有实特征值；给出了相似矩阵的概念,并证明了相似矩阵有相同的特征值；研究了代换理论, 数学家试图研究向量代数,但在任意维数中并没有两个向量乘积的自然定义.第一个涉及一个不可交换向量积（既 v x w 不等于 w x v ）的向量代数是由 Hermann Grassmann 在他的《线性扩张论》（ Die lineale Ausdehnungslehre ） 一 书中提出的. (1844) .他的观点还被引入一个列矩阵和一个行矩阵的乘积中,结果就是现在称之为秩数为 1 的矩阵,或简单矩阵.在 19 世纪末美国数学物理学家 Willard Gibbs 发表了关于《向量分析基础》 ( Elements of Vector Analysis ) 的著名论述.其后物理学家 P. A. M. Dirac 提出了行向量和列向量的乘积为标量.我们习惯的列矩阵和向量都是在 20 世纪由物理学家给出的. 矩阵的发展是与线性变换密切相连的.到 19 世纪它还仅占线性变换理论形成中有限的空间.现代向量空间的定义是由 Peano 于 1888 年提出的.二次世界大战后随着现代数字计算机的发展,矩阵又有了新的含义,特别是在矩阵的数值分析等方面. 由于计算机的飞速发展和广泛应用,许多实际问题可以通过离散化的数值计算得到定量的解决.于是作为处理离散问题的线性代数,成为从事科学研究和工程设计的科技人员必备的数学基础. 源自 上海交大