林子夕silva
利用一致收敛的性质。如果一致收敛,对参数趋于0的极限函数也是收敛的,但这个极限函数不收敛,所以原含参积分不一致收敛。
反常积分又叫广义积分,是对普通定积分的推广,指含有无穷上限/下限,或者被积函数含有瑕点的积分,前者称为无穷限广义积分,后者称为瑕积分(又称无界函数的反常积分)。
简述
定积分的积分区间都是有限的,被积函数都是有界的。但在实际应用和理论研究中,还会遇到一些在无限区间上定义的函数或有限区间上的无界函数,对它们也需要考虑类似于定积分的问题。
因此,有必要对定积分的概念加以推广,使之能适用于上述两类函数。这种推广的积分,由于它异于通常的定积分,故称之为广义积分,也称之为反常积分。
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解:用分部积分法求解。详细过程是,∵∫e^(-px)cosxydx=(1/y)∫e^(-px)d[sinxy]=(1/y)(sinxy)e^(-px)+(p/y)∫e^(-px)sin(xy)dx。而,∫e^(-px)sin(xy)dx=-(1/y)∫e^(-px)d[cos(xy)]=-(1/y)cos(xy)e^(-px)-(p/y)∫e^(-px)cos(xy)dx。∴∫e^(-px)cos(xy)dx=[(ysinxy-pcosxy)e^(-px)]/(y²+p²)+C。∴∫(0,∞)e^(-px)cos(xy)dx=[(ysinxy-pcosxy)e^(-px)]/(y²+p²)丨(x=0,∞)=p/(y²+p²)。【另外,这类积分可用欧拉公式“简解”。设I1=∫(0,∞)e^(-px)cos(xy)dx、I2=∫(0,∞)e^(-px)sin(xy)dx,I=I1+iI2=∫(0,∞)e^(-px+ixy)dx=1/(1p-iy),∴I2=∫(0,∞)e^(-px)sin(xy)dx=p/(y²+p²】供参考。
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判断反常积分的收敛有比较判别法和Cauchy判别法。定积分的积分区间都是有限的,被积函数都是有界的。但在实际应用和理论研究中,还会遇到一些在无限区间上定义的函数
利用一致收敛的性质。如果一致收敛,对参数趋于0的极限函数也是收敛的,但这个极限函数不收敛,所以原含参积分不一致收敛。 反常积分又叫广义积分,是对普通定积分的推广
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