大一经济数学论文

线性代数（Linear Algebra）是数学的一个分支，它的研究对象是向量，向量空间（或称线性空间），线性变换和有限维的线性方程组。向量空间是现代数学的一个重要课题；因而，线性代数被广泛地应用于抽象代数和泛函分析中；通过解析几何，线性代数得以被具体表示。线性代数的理论已被泛化为算子理论。由于科学研究中的非线性模型通常可以被近似为线性模型，使得线性代数被广泛地应用于自然科学和社会科学中。线性代数的主要内容是研究代数学中线性关系的经典理论。由于线性关系是变量之间比较简单的一种关系，而线性问题广泛存在于科学技术的各个领域，并且一些非线性问题在一定条件下 , 可以转化或近似转化为线性问题，因此线性代数所介绍的思想方法已成为从事科学研究和工程应用工作的必不可少的工具。尤其在计算机高速发展和日益普及的今天，线性代数作为高等学校工科本科各专业的一门重要的基础理论课，其地位和作用更显得重要。 线性代数主要研究了三种对象：矩阵、方程组和向量.这三种对象的理论是密切相关的，大部分问题在这三种理论中都有等价说法.因此，熟练地从一种理论的叙述转移到另一种去，是学习线性代数时应养成的一种重要习惯和素质.如果说与实际计算结合最多的是矩阵的观点，那么向量的观点则着眼于从整体性和结构性考虑问题，因而可以更深刻、更透彻地揭示线性代数中各种问题的内在联系和本质属性.由此可见，只要掌握矩阵、方程组和向量的内在联系，遇到问题就能左右逢源，举一反三，化难为易. 一、注重对基本概念的理解与把握，正确熟练运用基本方法及基本运算。线性代数的概念很多，重要的有： 代数余子式，伴随矩阵，逆矩阵，初等变换与初等矩阵，正交变换与正交矩阵，秩（矩阵、向量组、二次型），等价（矩阵、向量组），线性组合与线性表出，线性相关与线性无关，极大线性无关组，基础解系与通解，解的结构与解空间，特征值与特征向量，相似与相似对角化，二次型的标准形与规范形，正定，合同变换与合同矩阵。 我们不仅要准确把握住概念的内涵，也要注意相关概念之间的区别与联系。 线性代数中运算法则多，应整理清楚不要混淆，基本运算与基本方法要过关，重要的有： 行列式（数字型、字母型）的计算，求逆矩阵，求矩阵的秩，求方阵的幂，求向量组的秩与极大线性无关组，线性相关的判定或求参数，求基础解系，求非齐次线性方程组的通解，求特征值与特征向量（定义法，特征多项式基础解系法），判断与求相似对角矩阵，用正交变换化实对称矩阵为对角矩阵（亦即用正交变换化二次型为标准形）。 二、注重知识点的衔接与转换，知识要成网，努力提高综合分析能力。 线性代数从内容上看纵横交错，前后联系紧密，环环相扣，相互渗透，因此解题方法灵活多变，学习时应当常问自己做得对不对？再问做得好不好？只有不断地归纳总结，努力搞清内在联系，使所学知识融会贯通，接口与切入点多了，熟悉了，思路自然就开阔了。 例如：设A是m×n矩阵，B是n×s矩阵，且AB＝0，那么用分块矩阵可知B的列向量都是齐次方程组Ax＝0的解，再根据基础解系的理论以及矩阵的秩与向量组秩的关系，可以有 r（B）≤n－r（A）即r（A）＋r（B）≤n 进而可求矩阵A或B中的一些参数上述例题说明，线性代数各知识点之间有着千丝万缕的联系，代数题的综合性与灵活性就较大，同学们整理时要注重串联、衔接与转换。 三、注重逻辑性与叙述表述 线性代数对于抽象性与逻辑性有较高的要求，通过证明题可以了解考生对数学主要原理、定理的理解与掌握程度，考查考生的抽象思维能力、逻辑推理能力。大家复习整理时，应当搞清公式、定理成立的条件，不能张冠李戴，同时还应注意语言的叙述表达应准确、简明。

随着人类科学技术的飞速发展，单纯依靠经验决策已经不能满足人类的发展需要。人们迫切需要经验决策活动向科学化的决策发展，从而形成一套具有完整体系的、便于他人学习和掌握并能运用的科学决策理论和方法。模糊概念和命题不仅在人们的日常思维中大量出现，而且在经济学家们分析和预测经济形势时，也不可缺少。经济生活的最大特点是模糊性，在对许多经济问题的分析和经济预测、决策中，精确的二值逻辑是无法解决的。而模糊逻辑无以提供了一种新的解决现实问题的方法。模糊方法对于经济工作中定性分析与定量分析的有机结合，也有重要作用。模糊逻辑的综合评判和选择令人满意的模糊决策方案 对一个事物的评价，常常要涉及多个因素或者多个指标。具体过程是将评价目标看成是由多种因素组成的模糊集合（称为因素集X），再设定这些因素所能选取的评审等级，组成评语的模糊集合（称为评判集Y），分别求出各单一因素对各个评审等级的归属程度（称为模糊矩阵），然后根据各个因素在评价目标中的权重分配，通过计算（称为模糊矩阵合成），求出评价的定量解值。上述过程即为模糊综合评判。 一般的评判问题往往涉及多个因素，特别是在经济工作中，对象的各因素之间普遍存在着模糊关系，因此，人们在思维中把握对象时总要充分考虑各种因素及其对事物自身类属、性态的影响，在整体权衡中做出综合评判，这就是模糊综合评判。就拿商品房来说，一套住房是否为顾客喜欢，往往涉及好多因素，如地段、样式、楼层、价格和舒适度等。如何评价住房的优劣，就是个模糊综合评判问题。下面就以评判某套商品房为例说明模糊综合评判方法。 设X=房屋地段（x1），样式构造（x2），价格（x3）， Y=很欢迎（y1），比较欢迎（y2），不太欢迎（y3），不欢迎（y4）先做单因素评价。假如单就房屋地段考虑，请一些专门人员进行评价，有50%的人认为很欢迎，有40%的人认为比较欢迎，有10%的人认为不太欢迎，则对房屋地段的评价为：（，，，0） 又假设对样式构造来说，评价为：（，，，） 而对价格所做的评价为：（0，，，） 这就构成单因素评价的模糊矩阵，用R表示。 不同的顾客由于职业、性别、年龄、爱好、经济状况不同，对商品房的三个因素给与的权数也不同，要进行综合评价还必须加入权重系数。假如有一类顾客买商品房时主要的要求是房屋地段好，样式构造较差不要紧，价格比较便宜，则有： A = ( , , ) 这就是此类顾客对服装评价的三个权数分配，即房屋地段的权数为，样式构造的权数为，价格的权数为。由综合评判可得，这类顾客对商品房的评价结果为： B=A·R (, , , ) (注：AR 表示两个模糊集的合成运算，具体算法略) 再做归一化处理，即各项除以，得：（，，，） 这一结果表明，33%的人认为这套商品房很受欢迎，27%的人认为比较受欢迎，20%的人认为不太受欢迎，20%的人认为很不受欢迎。也就是说，就整体来说有一半以上的人对这套商品房的设计是很受欢迎或比较受欢迎的，因此这套商品房的设计比较成功。 从上例可以说明，人的认识的综合评判活动，是对各个单独因素的模糊分析和对各个因素的整体的模糊综合的辩证运动过程，它体现出模糊分析和模糊综合的互相依存和互相转化，也体现了对事物进行的多角度、多侧面、多因素、多值、多测度的立体思维考察。所以，模糊多属性决策分析的理论、方法及其应用研究，不仅对管理科学、技术经济理论与应用的发展具有重大的理论意义，而且对解决许多复杂的实际决策问题也有特别重要的现实意义。 在过去的10多年中，中国和印度两国经济高速增长，这正在改变着世界经济的格局，并引起世界各国的极大关注。中印两个文明古国在长期停滞后重新实现经济增长，证明了市场化对经济发展的作用，为世界经济的增长提供了动力，有利于世界消除贫困、控制人口，因而有着多方面的世界意义。 在这种情况下，中国和印度的经济增长模式受到了广泛的关注，相似的原理和诸多不同的外界因素改变着两国的经济发展方式，为两国带了了不同的市场与未来。 关键词：中国经济增长模式、印度经济增长模式、经济增长率、当我们把目光投向近年的亚洲经济版图，中国和印度的经济增长无疑是其中的一抹亮色。中国与印度既是邻国，又是世界人口大国，两国国情有很多共同之处，经济增长的模式上也有种种相似以及诸多不同。 在过去的10多年中，中国和印度两国经济高速增长，目前已是全球经济增长最快的两个国家，而这样快速的增长正在改变着世界经济的格局，并引起世界各国的极大关注，从而引发了中国与印度热。 如果说印度崛起的原因是自然而然的和自由化的改革政策，那么中国经济增长则得益于政府深思熟虑的结果。 一、中国与印度崛起的世界意义中国与印度所在的亚洲曾经是非常富庶的地方，直到19世纪之前，中国比欧洲或者亚洲任何一个国家都要强大，在1820年时，中国的GDP 比西欧及其衍生国家的总和还要高出将近30%。在西方国家进行殖民扩张以前，印度是后来成为西方殖民地国家中唯一的工业品出口国，即使到了英国对印度进行殖民地统治以后的一段时间里，印度的工业规模仍然要比其他任何一个欧洲殖民地的工业规模都要大。但是，随着西方对印度的殖民，以及对中国的殖民渗透，本来就已处在停滞状态的中印两国经济更是出现了历史性的大逆转。在此后的100多年时间里，中国与印度，以及这两个大国所在的亚洲很快就成为世界上最为贫困的地区，而且大部分贫困人口恰好集中在中国与印度这两个人口规模极其巨大的国家里。亚洲的复兴是从二十世纪五十年代开始的，但是走出亚洲经济复兴第一步的并不是中国和印度，而是日本。这是因为中国与印度在争得民族独立与解放之后，选择了被事实证明是缺乏效率的"计划经济体制"，结果未能实现有效的经济增长，从而也就不能有效地解决多个世纪积累起来的贫困。但是，当日本于20世纪70年代成功实现对欧洲的赶超，以及随之而来的东亚"四小龙"的经济起飞，给中国以巨大的冲击。中国在经过审慎的思考以后，在1979年以后毅然决然地走上了向市场经济转型的道路，从而创造了令世人震惊的中国经济奇迹。面对中国的经济奇迹，印度最终也在1992年开始了向市场经济的转型，结果，在进行转型后的10多年时间里，也发生了在印度历史上从来没有过的经济增长。中国与印度的崛起为解决世界性的贫困问题提供了新的希望。只有经济增长才能有效地减少和消灭贫困，即财富的创造是解决贫困问题的关键性因素，而分配至多只能解决公平问题，绝对不能解决贫困问题。自1979年改革开放以来，中国使大致 4亿左右的贫困人口脱贫。印度在刚开始改革时，贫困人口占全国总人口的36%，改革仅 8 年，其贫困人口占全国总人口的比例就下降了八个百分点，平均每年降低一个百分点。 中国和印度的崛起有助于减少和消除世界性的贫困，为世界经济带来新的增长动力。它们都是 “人口年轻”国家，可以为世界带来巨大的红利；它们拥有强大的低成本制造能力，可以让世界在实现经济高速增长的同时而不通货膨胀；从长期来看，它们将为世界创造一个规模空前巨大的新兴市场。 二、中国和印度相似又不同的发展模式 1、中国模式：当中国经济在20世纪80年代以闪电般的速度起飞，并且成为全球经济强国时，全世界从最初对中国的不信任逐渐转为由衷的钦佩。中国的国内生产总值主要以制造业拉动，增长率在2006年达到11%后，又在2007年增至12%。中国依靠巨大的国内储备资金大力开展基础设施建设，同时吸收大量外资在中国建立工厂，引进所需的国外专业技术。改革开放后30年的中国经济发展模式，是以否定计划经济的弊端为发端，以市场经济为价值取向和依靠市场调节自发优化资源配置为理论根据而设计和安排的经济模式。是以市场经济为价值取向、以地方分权为行政运作、从农村分田单干起步、公有经济民营化、使一部分人先富起来的经济模式。从总体上说，这是一种市场经济模式，由于它具有市场经济体制的一般优越性，从而为中国经济带来了活力。 2、印度模式： 记得家人出差到印度，回来后形容对那里的“落后”印象深刻。简陋的基础设施、堵塞的交通、满街低档国产车、大城市的贫民窟、随处可见的乞丐，作为孟买一景的多比哈特露天洗衣场……都给人以一种“穷国”的强烈观感，跟中国沿海城市热火朝天的市政建设比起来相形见绌。然而，人们往往没有看到的是印度发展的潜力及其增长模式的可持续性，随处可见的IT公司招牌挂满大街小巷，迅速发展的服务行业……自1980年到2002年，印度的经济增长率保持在6%，到2002年至2006年，其增长率稳步上升到。2006年以后的经济增长率突破8%。在过去的20多年中，中产阶级的规模翻了4倍，达到亿人。印度的经济起步落后于中国大约10年，它的崛起之所以令人关注，并不是因为这是新的现象，而是因为它的发展模式非常特殊。其崛起主要依靠西方工作岗位的地域性转移。同时印度迅速造就了一批世界级的知识密集型企业以高科技为先导的服务业优先，所属行业包括软件业、IT业和制药业。这些行业在发展过程中很少得到政府的资助，却有力地推动了经济的发展。印度采取的战略跟其他亚洲国家不同，它并不依赖于出口劳动密集型的、价格低廉的工业产品，而更依靠国内市场以内需为主拉动消费，他们重消费而非投资，重服务业而非制造业，重高新技术产业而非技术含量低的工业，自下而上的市场主导的经济运作。这种方式意味着印度的经济在很大程度上可以避免受到全球经济疲软的冲击，从而表现出很强的韧劲。以消费为主导的发展模式有利于人民生活的普遍提高，印度的贫富差距比其他发展中国家都要小。而且，30%至40%的国民生产总值来自于生产力的增长，而不是资本或劳动力的增加。 3、中国经济增长率和印度经济增长率（图） 4、中国和印度经济增长模式的比较：如果说世界上有一个国家对中国来说最有可比性的话，那就是印度，因为两个国家的很多禀赋都比较相似。由于制度环境和初始条件不同，中印两国的发展模式也不同，这表现在市场化路径、开放模式和增长道路的差异。中国和印度走向市场化的道路不同，由于中国与印度的国情不同，中国和印度走向市场化的道路存在着很大差异。中国在改革开放以前实行的是以公有制为基本制度的计划经济，而印度在其改革开放以前所实行的则是以私有制为基本制度的计划经济，这种制度上的根本差异导致了这两个国家在向市场经济转型时，必须要选择不同的改革道路。对于中国而言，要想完成从计划经济向市场经济的转型，首要的任务便是进行所有制的改革。对于印度来说，其通向市场化的道路就是放松政府管制、大力推进经济自由化与贸易自由化就可以了。但不管中国和印度在走向市场化的过程中所采取的方法有多大的不同，中国和印度的改革在有一点上却是非常相似的，那就是两国都谨慎地采取了渐进改革的方式，从而避免了那种发生在前苏联和中东欧计划经济国家转型过程中的社会动乱，以及因为社会动乱而造成的经济衰退。中国和印度对外开放的模式不同，这两个国家也存在着相当显著的差别。就中国而言，对外开放的主要方式是出口导向和引进外资，而印度的对外开放则采取了对外投资与自由贸易的方式。中国与印度的经济增长道路不同，中国是沿着从农业到制造业，再到服务业的发展道路循序渐进的，而印度则部分地采取后一种经济增长的道路，把更多的注意力集中到了服务业的发展上。 三、中国和印度经济增长的未来和所需面对的挑战为了实现经济的持续发展，中印两国都面临着挑战。两国共同的问题是坚持通过创造财富来消灭贫困而不要搞平均主义。中国还需要深化以农民土地所有权、国有企业所有权和私人财产所有权为重点的产权改革，印度则需要改革其限制社会流动、压抑经济活力和削弱人力资本投资的种姓制度。印度与我国相比在经济增长中的优势：开放程度比中国高得多，与世界各主要大国关系较好，外部压力较小，精英教育已见成效，印度社会精英阶层整体素质比中国高得多。而印度的劣势是：宗教矛盾日益突出，社会动荡，恐怖事件时有发生，这些都极大地打击了外国投资，由于市场过度开放，对本民族工业造成很大冲击，有些领域经济命脉把持在外国资本家手里，一些基础设施建设很差，已经严重束缚了印度经济的发展。印度总理曼莫汉·辛格说：“只要政策对症下药，经济成就是会持续下去的，从而相应提高亚洲区内人民的生活水平，这也即代表着全球近半的人口，生活素质得到改善。” 辛格还指出，当前全球经济面对的最大挑战，仍是在如何复苏这个问题上。即使亚洲国家并没有受不良证券的拖累，但区内国家多倚靠全球贸易支撑经济，经济变差，需求大减，波及出口贸易。“对中国、印度、印尼这些着重内需的国家来说，外来经济环境不景气，对其冲击不会很大，但对于倚赖出口的经济体来说，影响却甚大。”但辛格补充说：“如今，亚太区经济陆续转佳，截至去年年底，亚洲多数国家的出口更已重回经济危机发生前的水平，当中还包括曾遭受最严重打击的国家。”依据2010年一季度的增长率来看，短期内中、印两国的经济发展走向还是会加速前进的。 全中国有多少能够发表经济学论文的刊物？数百种，甚至上千种？反正是多如牛毛。中国社会科学院和各地的社科院、许多大学的经济学院、一些国家机关、金融机构等等都有自己的刊物，这还不算也刊登理论文章的报纸。应该说，最近20年来，中国的经济学和经济学期刊都有了很大的进步，但是，我们还要看到，存在的问题仍然不少： （1）综合性的期刊太多，专业性的期刊太少。在国外，除了为数不多的几本综合性经济学期刊之外，具有国际性声誉的主要是各种专业性期刊，比如金融有《金融学》杂志，比较经济学有《比较经济学》杂志等。国内的各个经济学期刊并没有明确的专业分工，内容重叠，使得读者想要了解一个领域的最新进展往往无从入手。 （2）对刊物的评价缺乏科学标准。目前流行的刊物分类方法是根据刊物主办单位的级别进行评级，或是根据国家有关行政单位的评比，这使得学术期刊的评级缺乏学术界公认的科学标准。 学术期刊多而质量参差不齐，对于研究人员和学生发表论文来说，既是一件好事，也是一件坏事。说它是好事是因为从目前的情况来看，一个聪明的研究生随随便便挑几份刊物，登数十篇论文，根本就不是件难事。说它是坏事，是因为发表论文如此容易，会很容易地毁掉刚出道的学子，让他们觉得科学研究原来是这样一件稀松平常的事情。所以，我的建议是青年学子们在投稿的时候一定要确立自己的目标，就是不满足于在平庸杂志上发表论文的数量，而一定要登上好的经济学刊物的“大雅之堂”。 那么，什么是好的经济学刊物？学术期刊上的论文往往充斥着难懂的术语、复杂的推理和烦琐的数据，很难让普通读者读懂，并因此会让门外汉感到“高山仰止”、“阳春白雪”。事实上，学术期刊与大众媒体的功能是不同的。大众媒体面向的是普通公众，读者只需要受过中级的教育程度并有基本的理解力，但不必要受过某个学科的专门训练。学术期刊的作者和读者基本上局限在一个狭窄的小圈子里，即受过某个学科的训练并且仍然在从事这个学科的研究和教学的人员。大众媒体上的文章是为了影响读者，而学术期刊上的论文是为了同行交流。所以，如果用所传递的信息量或是思想的深刻程度来衡量文章的质量，学术期刊上的论文并不一定要比大众媒体上的文章质量更高。比如《经济学人》、《商业周刊》在专业经济学家那里赢得了很高的荣誉，不少一流的经济学家都承认他们经常从这些杂志上找到灵感，而在国际关系领域，《外交》杂志的水平不亚于任何一份最好的学术期刊，但是这些杂志并不能被称为学术期刊。在《经济学人》或是《外交》上发表文章能够提高作者的知名度但对他在大学里评职称却是一点也帮不上忙。衡量学术期刊的标准首先不在于其内容而在于其形式。 经济学论文发表期刊主要有(排名不分先后顺序)：《管理世界》《数量经济技术经济研究》《地域研究与开发改革》《经济理论与经济管理》《开发研究》《上海经济研究》《宏观经济研究》《长江流域资源与环境》《经济研究参考》《生产力研究》《城市问题》《城市发展研究》《中国经济史研究》《资源科学》《中国人力资源开发》《经济体制改革》《经济问题探索》《资源、产业（改名为：资源与产业）》《中国经济问题》《南方经济》《现代城市研究》《消费经济》《生态经济》《经济数学》《中国流通经济》《开放导报》《特区经济》《现代经济探讨》《宏观经济管理》《运筹与管理》《改革与战略》《技术经济与管理研究》《中国经贸导刊》等。[2] 经济学论文是对经济学领域的研究成果做出的的结论性总结，是对社会经济现象深入分析的结果。 一、选题结构特点 1. 选题 选题应该能够解释关系较多人利益的现实活动，如用激励理论研究中国农业问题。解释范围太狭隘的选题写作意义也不大，但可以作为小品文，如研究清华北大占位问题。 2. 内容 利用简单而深刻的经济学模型表达自己的观点，并利用分析证明自己的观点。 内容的好坏主要取决于：(1)用同行通用的规范经济学方法分析问题;(2)语言清晰准确表达要表达的意思;(3)模型对现实的解释能力。 3. 写作形式 形式规范，内容才能规范。如必须有理论综述部分，就要求确实要了解该领域目前的研究进度。必须有模型的假设，就必须设计出有意义的假设。必须有规范的实证检验，就不能随便罗列一些数据，而必须找到确实能够支持自己论点的证据。 二、写作思维方式 一切从利益最大化角度分析，构造现实主体的利润函数和约束条件，以求最大化诠释。 三、理论模型分析 1. 基础理论，包括理论综述、现实意义。 例如：具体钻研某一特定领域。 2. 模型，包括假设、界定函数式、求解均衡解、模型的推广。 例如：《高级微观经济学》、《高级宏观经济学》、《博弈论》。 3. 实证分析，例如：《计量经济学》。[3]

线性代数教学中线性相关性的一种解释和理解［摘要］线性相关性的内容是线性代数课程中的重点和难点，特别是被表示向量组的线性相关性与被表示向量组中向量的个数以及表示向量组中向量的个数之间的关系的有关结论，对学生来说是很难理解的，在教学中，我们把线性相关解释为“多余”，线性无关解释为“没有多余”，在教学上可收到较好的效果。［关键词］线性相关线性无关多余没有多余线性相关性在线性代数课程中是一个重要内容，对学生来说是非常困难的内容，许多学生学完线性代数后还没有弄懂，有的学生学到这一内容时觉得很难学，就丧失信心。认为整个线性代数都很难学，甚至放弃学习。线性相关性是线性代数课程中教学的难点，它与后面线性方程组的解的理论有密切的联系，对于这一难点的处理是非常重要的。根据不同层次的学生采用不同的教学要求。使得学生正确的理解线性相关性的定义,定理。大多数经济类的本科线性代数课程的教材在叙述向量组的极大无关组和向量组的秩的理论时,由于这一章节的理论性比较强，一般都是从定理到定理,从证明到证明,例子较少。在教学中,在讲完线性相关的定义和有关定理后，在介绍向量的极大无关组之前，用”多余”来解释线性相关性,可使后面的问题简单化,直观化。我们以龚德恩等主编的《经济数学基础》的第二分册线性代数的教材为例进行说明。首先来看线性组合的概念。对于向量组α1,α2,…,αs和向量β,如果存在s个数k1,k2,…,ks使得β=k1α1+k2α2+…+ksαs则称向量β是向量组α1,α2,…,αs的线性组合。换句话说向量β相对于向量组α1,α2,…,αs是“多余”的向量。关于线性相关概念,对于向量组α1,α2,…,αs,如果存在不全为零的数k1,k2,…,ks使得k1α1+k2α2+…+ksαs=0称向量组α1,α2,…,αs线性相关。因k1,k2,…,ks不全为零,不妨假设α1≠0则α1=-k2k1α2-…-ksk1αs。因此向量组α1,α2,…,αs线性相关,看成是向量组α1,α2,…,αs中至少有一个“多余”的向量。关于线性无关概念,对于向量组α1,α2,…,αs,如果仅当k1,k2,…,ks都等于零时,才能使得k1α1+k2α2+…+ksαs=0成立。称向量组α1,α2,…,αs线性无关。由于α1,α2,…,αs线性无关等价于其中任何一个向量不能由其余向量线性表示，因此向量组α1,α2,…,αs线性无关看成是α1,α2,…,αs中“没有多余”的向量。一些结论也可作相应的理解和解释。如:“如果一个向量组中的部分组线性相关,则整个向量组也线性相关”，解释为如果一个向量组中的部分组有多余的向量,则整个向量组也有多余的向量。“如果一个向量组线性无关,则它的任意一个部分组也线性无关”，解释为如果一个向量组中没有多余的向量,则该向量组去掉一些向量后也没有多余的向量。下面两个定理是学生们在学习向量组的线性相关性的过程中感到最难理解和掌握的。定理1设向量组（Ⅰ）α1,α2,…,αs可由向量组（Ⅱ）β1,β2,…,βt线性表示，且s＞t，则α1,α2,…,αs线性相关。在课堂教学中我们是作如下解释的，向量组（Ⅰ）α1,α2,…,αs称为“被表示向量组”，向量组（Ⅱ）β1,β2,…,βt称为“表示向量组”。条件s＞t，看成是有”多余”的向量。即“被表示向量组（Ⅰ）α1,α2,…,αs相对于表示向量组（Ⅱ）β1,β2,…,βt有多余的向量，则α1,α2,…,αs线性相关,这样解释便于学生理解和记忆。推论1如果一个向量组α1,α2,…,αs线性无关，并且可由向量组β1,β2,…,βt线性表示。则s≤t。推论1可解释为：如果“被表示向量组α1,α2,…,αs线性无关，则被表示的向量组α1,α2,…,αs相对于表示向量组β1,β2,…,βt没有多余的向量，即s≤t。推论2两个等价的线性无关向量组所含的向量的个数相同。两个向量组都线性无关，且彼此可相互线性表示，两个向量组彼此相对于另一个向量组都没有多余的向量，得两个向量组所含的向量的个数相同。下面再举一些例子进行说明。例1设向量组α1,α2,…,αs线性无关,且可由向量组β1,β2,…,βt线性表示,则必有()。