毕业论文之大数定律

一、赌徒的谬误 先举例子。例子1、慕容先生和慕容太大有五个孩子，都是女儿。慕容太大说：“我希望我们下一个孩子不是女孩。”慕容先生说：“亲爱的，在生了五个女儿之后，下一个肯定是儿子。”请问，慕容先生说得对吗？例子2、很多玩赌硬币正反面的孩子们认为，在投硬币游戏出现了连续的很多次正面（字）之后，就会出现反面（国徽），然后他们就可以赢了。事情将是这样进行的吗？ 如果你对这类问题回答说“对”，那你就陷入了所谓“赌徒的谬误”中了。慕容夫妇生下一个孩子是男孩子的概率仍然只是1/2（二分之一，性别主要由父亲x、y染色体决定，被遗传x染色体是女孩，被遗传y染色体是男孩，概率各1/2。生物学问题，这里不赘述了），而盘子转过很多红色数字之后，落在黑色的数字上的概率也还是1/2。 下边解释原因。首先，从概率论的角度解释，如果您不很感兴趣，请直接跳到下一段，这并不影响您对概率和我这篇文章的理解。如果事件a和事件b的发生是互相不依赖的，我们说，事件a和事件b是互相独立的，也就是说，相对于事件a，事件b就是件独立事件；相对于事件b，事件a也是件独立事件。因此我们可以得出结论，如果在征途竞猜里边，连续出了7次小，那么第8次出大的概率是多大呢？对了，还是1/2。 其次，我们从实际的角度解释。先给大家讲个笑话。讲的是很多年前有一个人坐飞机到处旅行。他担心可能哪一天会有一个旅客带着隐藏的炸弹，于是他就总是在他自己的公文包中带一枚炸弹。为什么呢？因为他认为一架飞机上不太可能有某个旅客带着炸弹，他又进一步推论，一架飞机上同时有两个旅客带炸弹是更加不可能的事。其实我们知道，“我带炸弹”这件事情不会影响其他旅客携带炸弹的概率。所以这是个笑话。 所以，结论就是，征途金符竞猜那里，就算是出了连续14次小（昨天我在官方bbs上看到有个网友说他们那里连续出了14次小），第15次出大的概率还是50%，并不像前几天文章里分析的那样，是什么99%啊，或者之类，那类想法没有数学上的依据。 二、但是，为什么连续出现10次或者11次小，在现实中不经常发生？ 先考虑这样一个问题：如果某工厂生产了1024个灯泡，已知其中有一个灯泡是次品，这个次品在外观上完全跟正品一模一样。于是，您被分派去做抽查工作。您抽查了其中一个灯泡，而您发现，这个灯泡刚好就是那个次品。你一定会觉得奇怪，怎么刚好那个次品被你抽查到了呢？这意味着什么？好，带着这个问题接着往下边看。 概率论学到后边，有个定理叫“伯努利大数定理” 。它的公式是个极限问题，频率减去概率的绝对值小于任意正数ε（读做“艾普西龙”），那么它的极限为1。数学公式是用来吓唬您的，这个定理的现实意义就是，如果一件事情的发生的概率非常小的话，它在现实中是不会发生的（发生的概率为0）。回到上边1024个灯泡的问题，在1024个灯泡中要抽查一次刚好抽查到那个次品的概率是非常小的（概率为1/1024），所以在现实中是不可能发生的。那现在为什么发生了呢？聪明的你一定想到答案了。对了，事实上，那1024个灯泡中肯定不止1个灯泡是次品，也就是说，已知条件是错误的。所以，以后如果有人卖西瓜的时候说：“我卖的西瓜99%是甜的。”而你在他的瓜地里随便找了个西瓜，发现是白的，你就可以认为他说的是谎话了。 然后，我们就要解释为什么金符赌博连续出现10次或者11次小，在现实中不经常发生的问题了。首先，我们来看连续2次竞猜的结果。连续2次竞猜会出现多少种可能结果呢？对，聪明的你一定知道了，4种。第一种结果是，第1次出了大，第2次也出大；第二种结果是，第1次出了大，第2次出了小；第三种结果是，第1次出了小，第2次出了大；第四种结果是，第1次出了小，第2次也出了小。即，大大，大小，小大，小小。对么？（呵呵，如果您觉得头大的话，直接到最后看结论，并不影响您对整个问题的理解。）然后，我们来看，如果看连续11次竞猜的结果，那么有多少种可能呢？对了，就是2的11次方种结果，即2048种结果。而在这2048种结果里边，有一种结果是，前10次都是小，而第11次是大；另外一种结果是，整个11次都是小。前一种结果，你在前10次一直输（因为你一直押大），到最后一次才赢。后一种结果是，你一直输，连输了11次。但是，回到我们刚才说的大数定理，我们知道，在2048个事件里边，发生“11次都是小”这件事情的概率是1/2048，所以基本上不用担心这件事情会发生。我们还知道，竞猜一般是3分钟不到的时间，每天你在竞猜场5个小时，你可以押120次或者130次，按照每11次一个周期的话，一共是10来个周期，这10来个周期相对于2048这么大的数字，还是个小概率事件，所以一般是不会发生这种事情的。 但是，我们发现，现实中我们并不会按照每11次一个周期这样去下注，我们往往是连续不断地下注。假如按照每11次竞猜划一个周期，每个周期后边连续4、5次小，而紧接着的一个周期前边也是连续4、5小，那么就会出现连续9、10次的小了（本来你应该在出现一次大并赢了后，等待下个周期开始）。这就是为什么在竞猜中，连续出现11次小不再是小概率事件的原因了。只不过，碰上这种事情的概率还是相对比较低的。这就解释了为什么我们在现实中不太常碰到连续11次小，但它又常会发生，因为它已经不再是小概率事件。 三、以大博小的问题。 其实就是翻倍下注的问题。不少网友在这里发的文章都提到这一点，先押1个，输了押2个，再输押8个，一直押下去，最后你只能赢一个。实际上，按照我们刚才严格的概率论分析，每次出大小的概率都一样，都是50%（而你究竟押在大或者小上是无所谓的，关键是你必须把上次输的金符数目翻个倍）。除非你划11次的周期或者12次、13次的周期，严格按照周期下注，使“输”成为小概率事件——但是这样的缺点显而易见，你一天只能下几注。接着还有个问题，翻倍押法需要的本钱也要很大。最后一个障碍是，竞猜那里有金符下注的上限500，即每次你最多只能下500个金符。以大博小是能赢，但从数学上来看，前提假设是你必须有“无穷个”金符，并且不设置下注的上限。我天天在竞猜那里，一般也采取这个办法，而且还能赢几个，但是我知道，总有一天我会碰上“连续11次小”之类的事情，最后我破产——因为数学上的分析。当然，我们唯一可以做的是，我们下得少一点，这样担的风险小一点，就算输了也不至于把内裤也输掉。 最后，结论就是，1、大小的概率各50%；2、连续下注的时候，连续10次大或者小的概率比较低，但它并非是小概率事件；3、下注越少，风险就越少；4、谨慎投资。至于有些人说的连续7次小后，大的概率是99%之类，完全是胡说八道。我相信聪明的你一定会有所甄别。还要给这里的编辑说下，真的没必要发那种错误的文章了

1、选题尽量与日常工作结合起来一是便于收集数据，二是通过论文写作，对考生今后工作也有帮助，一举两得。反之，选一个与工作毫不相干的题目，从头开始，只能落得个事倍功半的结果。2、选择感兴趣的题目做论文是原创性的工作，因此，考生对某个方面感兴趣，会促使自己积极主动地探讨这方面的问题，强烈的成就动机将是做一篇优秀论文的基础。3、学术类文献综述类题目尽量不要选对所有参加自学考试的考生来讲，做学术论文是一件极具挑战性的工作，绝不是想象中那样轻松。自考过程中，考生可以通过强化复习通过考试，但做研究是完全不同的过程。只有在考生花费精力查阅大量文献后，才能知道可以做什么课题，还需要考生自己去收集数据，分析数据，撰写报告。综述性论文需要查阅大量的参考文献，从选题到提交论文，一般仅有3个月时间，真正码字可能就一两个星期的时间，在这么短的时间内要查阅到写综述的参考文献，难度相当大。时间短难度大，很少考生能将这些类型的论文写得好和有一定深度。不过，如果你实力很强，那也是可以的。当然，每次没能通过论文答辩的考生，绝大部分都是选择了这些雷区类型题目，希望大家吸取教训。

1. 生活中处处有数学 2、解数学竞赛题的整体策略 3、谈数学解题中发掘隐含条件的若干途径4、论数学教育中性别差异的影响 5、逆向思维在数学论证中的作用及培养6、谈小学、初中数学的衔接 7、容斥原理及其应用8、从高中课程改革看大学课程改革 9、信息化教育问题10、数学素质教育中的教师素质问题 11. 浅析课堂教学的师生互动12、谈设疑法在课堂教学中的应用 13、计算机辅助小学数学教学的探索 14、谈一类重要的数学方法--分类讨论法15、小学数学竞赛题的教育价值16、在解题中培养学生的数学直觉思维 17. 反思教学中的一题多解18. 初探影响解决数学问题的心理因素 19、在数学教学中培养学生的反思意识 20、关于探索性命题的若干问题 21、数学实验教学模式探究22、论小学数学竞赛题的解题方法 23、奥林匹克数学的解题策略24、三角形面积在竞赛中的应用 25. 数学教育中的科学人文精神 26. 数学几种课型的问题设计 27. 在探索中发展学生的创新思维 28. 把握发现式教学实质,优化课堂教学 29. 如何评价小学学生的数学素质 30. 阅读材料在数学教学中的作用 31. 数学中的判断之我见 32. 关于学生数学能力培养的几点设想 33. 反例在数学中的作用 34. 谈谈类比法 35. 数学教学设计随笔 36. 数学CAI应遵循的原则 37. 我国数学教育改革的若干问题 38. 当代数学教学模式的发展趋势 39. “问题解决教学”的实践与认识 40. 数学教学中的“理论联系实际” 41. 小学数学课堂教学探究性学习案例简析 42. 数学训练，贵在科学 43. 教学媒体在数学教学中的作用 44. 培养数学能力的重要性和基本途径 45. 初探在数学教学中开展研究性学习 46. 浅谈数学学习兴趣的培养 47. 如何使计算机辅助教学变得更方便 48. 精心设计习题，提高教学质量 49. 我对概念教学的的再认识 50. 数学教学中的情境创设 51. 结合数学教学实际开展教研教改 52. 为学生展开想象的翅膀创造环境 53. 利用习题变换，培养思维能力 54. 课堂教学中培养学生创造能力的尝试 55. 观察法及其在数学教育研究中的应用 56. 直觉思维在解题中的运用 57. 数学方法论与数学教学—案例三则 58. 概念课是思维训练的重要环节 59. 对概念导入和问题设计的思考 60. 把握概念本质注重思维能力的培养 61. 将研究性学习引入数学课堂教学 62. 数学教学的现代研究 63. 数学探究性活动的内容、形式及教学设计 64. 注重创新性试题的设计 以上为参考论文选题，学生写论文时可选用，也可按选题提供的范围和方向，根据自己教学过程中体会最深的某方面自定论文选题1．关于数学教学目的问题； 2．关于数学思维问题； 3．关于数学教学方法问题； 4．关于学习的迁移问题； 5．关于数学教学的评价问题； 6．关于熟练技能与深刻理解的关系问题； 7．数学的实用功能与数学的文化教育功能相关关系的研究； 8．数学教学的德育功能研究； 9．班级授课制中集体教学、小组教学和个别教学在数学教学中的地位和作用； 10．数学发现法(探究式)教学可实施的基本内容、对象和范围； 11．对数学教学中“可接受性原则”的认识及其具体做法的实验研究； 12．中学生数学学习习惯与学习方法的调查分析； 13．诊断和鉴别数学学习困难学生的方法探析； 14．数学智力因素与数学非智力因素的界定及其对学生学习成绩交互作用的研究； 15．数学教学中激发学生学习兴趣的内在机制和外部因素的研究； 16．教法与学法的双向作用研究； 17．学生“用数学”意识和能力的形成机制以及培养途径的实验研究； 18．数学新课程实施中转变学生学习方式的途径； 19．学生数学观念或数学意识的形成机制和培养途径的实验研究； 20．创设良好的数学教学心理氛围与提高数学教学质量相关关系 的研究。 21．中学数学教育的地位与作用。 22．形象思维与数学教学。 23．直观思维与数学教学。 24．非智力因素与数学学习。 25．数学美与数学教学。 26．在数学教学中怎样培养学生的数学能力。 27．数学作图及图形的教学。 28．数学解题错误的探讨。 29．怎样配备数学习题。 30．数学解题常用的一些思维方法。 31．怎样提高学生的自学能力。 32．怎样培养学生学习数学的兴趣。二、《概率论与数理统计》参考题 1．有关概率论发展的历史。 2．随机性与必然的数学基础与认识。 3．随机变量的直观认识与数学描述。 4．古典概率型的计算技巧。 5．几何概率型的分析处理。 6．有关概率论之介绍。 7．概率论中数学期望概念。 8．利用期望概率统一引人矩阵概率。 9．期望概率在概率论中的地位和作用。 10．特征函数与因数在概率论中的作用及其含义。 11．关于独立性。 12．大数定律与中心定律之含义。 13．大数定律与概率的统计定义。 14．有关概率不等式。 15．条件概率与条件期望。 16．Bayes公式的扩展。 17．概率在其它学科中的应用。 18．其它数学分支在概率论中的应用。 19．概率题目计算的多解性。 20．数理统计概念。 21．数理统计的过去与现在。 22．数理统计在客观现实中的作用。 23．假设检验的实质与作用。 24．参数估计的作用与处理方法。 25．数理统计在你自己工作实践中的应用(实例)。 26．学习概率统计的实践与体会。 27．概率统计中的错题分析。 28．如果我讲概率统计的话，我将这样讲(要求具体详细，资料充实，结构新颖)。 29．利用回归分析方法处理问题。 30．回归分析理论中存在的问题与解决的设想。三、《微分几何》参考题 1．空间曲线的基本公式及其在曲线论中的作用。 2．渐近线与渐缩线。 3．空间曲线弯曲性的研究。 4．曲率与挠率。 5．曲面的第一基本形式在曲面论中的作用。 6．等矩映象与曲面的内在几何。 7．曲面的第二基本形式在曲面论中的作用。 8．曲面上的曲率线，渐近曲线，测地线。 9．曲面的内在几何与外在几何的相依性。 10．曲面内的基本定理与曲线论的基本定理的比较(相仿之处与不同之处)。 11．高斯曲率的意义与作用。 12．等矩映射与等角映射及等积映射的关系。 13．高斯与波涅公式的意义与作用。 14．伪球面与罗氏几何。四、《复变函数》参考题 1．复变函数在一点解析的等价定义。 2．幅角多值性所导出的问题汇集。 3．小结复变函数的积分。 4．解析与调和函数的关系。 5．漫谈复数∞。 6．0，∞与函数 7．多值函数单值分支的表达与计算。 8．分式线性函数全体对乘法——函数复合——构成群。 9．∞和∞邻域的引进使扩充复平面的为紧空间。 lo．等比级数 ，在函数的泰勒展开式和罗朗展开式中的作用。 11．谈复数的比较大小问题。 五、《实变函数》参考题， 1．关于积分号下取极限(积分与极限交换次序问题)。 ①在什么条件下可以积分号下取极限，是积分的一个重要性质，例 如关系到微积分基本定理成立的条件，函数项级数和的性质等等。 ②列举勒贝格积分和黎曼积分在几个问题上的基本结论，分析其 中最基本的要求和相互关系(书上P146第6题可供参考)，可以发现勒贝格积分在这方面比黎曼积分好得多，而且是用勒贝格积分的主要好处之一。 ③给出上述基本结论的简单推论，新的证明方法应用例题，并说明它们的意义。 2．关于微积分基本定理(牛顿一菜布尼兹公式) ①什么是微积分基本定理，它的重要意义在哪里? ②黎曼积分情形，相应定理的条件是什么?有什么不足之处? ③勒贝格积分情形，相应的定理的结论和条件又是怎样的?条件减弱在哪里?还有什么问题? ④应用例题。 3．关于绝对连续函数。 ①绝对连续的定义是什么?有些什么等价说法或充分必要条件，并证明之。绝对连续与连续、一致连续有什么不同，有什么关系。 ②证明绝对连续函数列一致收敛的极限，可微函数与绝对连续函 数复合，仍为绝对连续的。 ③绝对连续函数几乎处处可微，能否做到处处可微?举例!绝对连续函数与它的导致关系如何，与微积分基本定理有什么关系。 ④绝对连续函数全体组成线性空间。 4．关于勒贝格积分。 ①试将关于勒贝格积分的定义综合起来，做出一个统一，一般的勒贝格积分定义，并说明勒贝格积分仍然是“分割、求积、取极限”的结果，勒贝格积分的“分割”与黎曼积分又有何根本不同之处? ②说明勒贝格积分在几何上仍是“曲边梯形的面积”。 ③证明对于勒贝格积分，也和黎曼积分一样，无界函数的积分(广 义积分)和无界区域上的积分(无穷积分)，都是有界函数在有界域上的积分的极限。 ④勒贝格积分有哪些黎曼积分所没有的重要性质。从积分的定义看，是什么原因导致这两类积分有许多重大差别。 ⑤勒贝格积分有许多重要性质，带来一些什么好处? 5．关于测度。 ①总结定义点集的勒贝格测度的过程，并与数学分析中定义区域的面积的过程(重积分前面部分)作比较，分析其中不同之处，以及为什么因为这些不同，导致黎曼积分和勒贝格积分在性质上有许多重大差别。 ②说明勒贝格测度长度、面积、体积概念的推广，当平面区域可求面积时，它的面积和勒贝格测度相等。 ③列举勒贝格测度的重要性质，说明它们与勒贝格积分性质的关 系(例如测度的可数可加性与积分的可数可加性有什么关系，单调集列极限的测度(定理3、2、6～3、2、10)与勒维定理(定理5、4、2的关系)。 6．关于可测函数。 ①可测函数与连续函数，可积函数从定义上、性质上看有什么关系和差别。 ②全体可测函数构成线性空间，构成环。 ③试说明鲁金定理的意义，以及它与黎斯定理、叶果洛夫定理的关系。你如何理解“可测函数近于连续函数”及其理由。 7．关于可测函数列的各种收敛概念。 ①试述实变函数论中及数学分析中讲过的各种收敛概念的定义和性质、互相之间的关系。以及引进这些概念的意义和用处。 ②从黎斯定理和叶果洛夫定理出发说明，你怎么理解“几乎处处收敛，近乎一致收敛”。 8．关于点集上的连续函数。 ①定义，性质。 ②与数学分析中讲的连续的关系。 9．集合论和点集论的方法在实变函数论中的意义。 从一些具体例子出发说明，为了解决数学分析中一些结果不够完善的问题，如推广它们的结论，有必要用这种方法去研究函数，用它也确实有好的效果。说明集合论是测度论和积分论的基础。 以上问题，除参考．所用教材外，还可参考程其襄等编《实变函数与泛函分析基础》。朱玉楷编《实变函数简编》等有关书籍资料。