循环群的研究毕业论文下载

《应收账款管理中存在的问题、原因及对策》刘学文烟台大学经济与工商管理学院摘 要:现实当中应收账款管理存在诸多问题,分析其中的原因,并提出相应的对策。关键词:应收账款 资信调查 内部控制 财务管理《浅谈企业应收账款管理》袁建茹天津泵业机械集团有限公司摘 要:在市场经济条件下．企业要推销产品．除了依靠产品的质量、价格、售后服务、广告宣传等因素之外，赊销便成为重要的营销手段。应收账款是企业拥有的．经过一定期间才能兑现的债权。应收账款的存在影响着企业资金链的正常营运．影响着企业整体资产的质量．影响着企业经济效益的发挥。因此，加强应收账款的管理．避免或减少损失的发生．保证企业经营活动的正常进行．是十分必须和重要的。企业应采取有效措施．认真加以预防和解决。[第一段]《加强企业应收账款管理的对策》李宁[1] 齐宏[2][1]哈药集团三精医药商贸有限公司 [2]哈尔滨三精新药有限公司摘 要:为使企业在市场竞争中能更好的发挥应收账款的商业信用作用，针对企业应收账款管理上可能存在的种种风险，结合企业自身的实际情况，建立应收账款的风险防范机制，从源头上化解应收账款风险已是急待解决的问题。[第一段]《对企业应收账款管理的思考》蒙绥珽西部钛业有限责任公司,710201摘 要:应收账款是企业拥有的一项非常重要的资产,它的管理是否完善直接影响着企业的发展,如何有效地控制应收账款的增长,防范坏账风险,保证企业正常运转已经成为企业财务管理的重要议题。本文仅对企业应收账款的弊端展开探讨,并提出相应的对策。[著者文摘]关键词:企业 应收账款 思考

当前，我国绝大多数企业都面临着“销售难、收款更难”的双重困境。一方面，市场竞争日益激烈，为争取客户订单，企业需要提供近乎苛刻的优惠条件，利润越来越少；另一方面，客户拖欠账款，甚至产生大量呆账、坏账，利润被大量侵蚀。企业间“三角债”相当严重，形成了恶性循环。据统计，目前我国有80％以上的企业深受“三角债”困扰，企业间相互拖欠货款高达上万亿元。国家曾采取多种措施试图根除此顽疾，但前清后欠，效果不明显。企业间的相互拖欠严重影响了企业生产经营的正常运转，干扰了市场经济的正常秩序。一、目前企业应收账款管理中存在的问题市场经济本质上是信用经济，信用销售已成为商家争取客户、扩大销售额和经营规模的最有效手段，以信用方式为主的结算方式已日趋成为取代现金结算而占主导地位的企业间交易形式。但是越来越多的企业发现：虽然利润表上的盈利数额非常可观，但实际上现金流量表上可供支配的自由现金流却捉襟见肘。企业无法将盈利转变为可供支配的现金流，从而无法把握投资机会，限制了企业的发展，甚至于影响到企业的生存。就中国的企业群体而言，这个问题更加突出。企业能否有效地控制应收账款，不仅直接决定了流动资金的周转水平和最终营业利润，而且还直接影响到销售业绩和市场竞争力。但是，我国企业在应收账款的管理中存在着许多问题。1．应收账款管理责任没有落实在许多企业中，销售部门和财务部门各司其职，没有人对应收账款的管理真正负责，因此也没有人对收款问题承担责任。在外部信用风险增大时，便产生大量拖欠账款，而且是在被拖欠了相当长的时间后才开始催收。其结果是前清后欠，屡禁不绝，包袱越背越重。2．销售部门考核扭偏由销售部门承担收账职责虽然改变了应收账款无人管理的状况，但实际上给企业带来更大的拖欠风险，因为销售业务人员的目标和能力在于销售而不在于收款。实际情况是：许多业务人员在销售激励机制下，盲目放账，而事后收款力度又不够，虽然销售额上去了，却往往给公司带来严重的呆账、坏账损失。3．财务部门难以控制信用销售和收账由财务部门负责虽然加强了应收账款的专门管理，但往往与实际相差太远。因为财务部门实际上不了解客户情况和交易背景，无法形成科学有效的管理。对于应收账款要么控制过严，企业销售额下降；要么失去控制，拖欠仍会大量发生。二、应收账款管理的目标应收账款管理的目标，就是要在赊销收益率和应收账款持有成本两者之间进行权衡，进而采取科学有效的措施，保证应收账款的流动性，并最终使企业的效益和价值得到最大程度的提高，实际上，也就是追求最好的流动性和效益性。其中，收账部门的工作主要是提高应收账款的流动性指标。另外，按照效益性的要求，应收账款要保持在一定合理的规模上，以便既能实现较高的销售收入，又不至于发生太高的持有成本。而且，应收账款发生之后应该及时催收，以免形成坏账损失。三、建立企业信用管理机制在我国，企业信用管理缺位是迫切需要解决的问题。国内企业现在已经越来越认识到信用管理的重要性，并且大都采取了相关举措，比如：设置信用部门或者明确相关部门的信用管理职能、制定信用管理目标和政策、对应收账款加强监管和催收的力度等。但总体而言，信用管理的职能还是相对薄弱。因此，笔者认为应该从以下几个方面加强企业的信用管理。1．建立切实可行的信用管理目标首先需要对企业战略目标进行层层分解，并对企业目前应收账款状况和客户来往的情况做具体深入的分析。可从以下几点入手，建立信用管理目标：①确保快速收回应收账款；②维持公司利润和销售的最大化；③维持和客户的关系；④提高公司的形象。2．建立客户信用资料档案信用部门集中保存并及时更新客户信息，不能再零散无序。这些资料应该包括企业与银行及主要客户交往的历史资料，主要有客户的基本信息、近期的财务报表、开户银行的证明以及银行和其他金融机构已公布的一些信用等级、信用申请表、营业执照复印件、信用调查报告、合同或订单、付款记录及往来信函等。建立这些完整的档案亦可防止因业务人员的离职而导致客户资源流失的情况。信用部门应逐步完善自身对客户的信用评估职能，根据已收集的信用资料，对客户的信用等级进行评定。3．制定严格统一的信用政策，并在企业信用部门内部严格执行从信用标准、信用条件和收款政策三方面制定企业的信用政策。在制定时，应依据自身的实际情况、考虑成本收益原则和客户信用状况，制定出准确、规范的信用政策。在信用政策执行过程中，一方面要严格按信用等级对客户执行不同的信用标准，同时要根据客户信用状况的动态变化随时调整对其的信用额度，从动态上保持信用政策执行的一贯性。另外，在信用政策制定时，要区别对待不同产品，不能采取一刀切的信用政策。4．建立信用管理人员的奖惩激励制度通过赊销责任制或者销售收款责任制的方式，将销售和信用部门的信用管理职能统一起来。可以采用销售人员销售和收款一条线负责制，将完成货款回笼作为销售人员业务流程的重要环节，对其考核标准采用销售额和货款回笼额双层次指标，同时将其与相关人员的工资奖金挂钩。5．加强客户信息反馈工作的力度一方面，企业应制定客户信用等级评级标准，另一方面，业务人员要对在具体业务过程中反映出来的客户信用情况进行及时总结。对老客户，可以按季度或者月份定期对其信用情况进行总结；对新客户和零散业务客户，应该在每笔业务结束后对客户信用情况进行总结，并且按相应标准，由业务人员对客户的信用状况进行量化评分，并将这些相应的资料作为客户信用资料纳入客户档案。企业应该把客户以后的表现和业务人员的总结进行及时的比较，加强考核力度。四、加强应收账款管理的措施应收账款从其存续的时间上划分，可以分为信用期内应收账款和逾期应收账款。对于信用期内应收账款，企业关心的是能否或有没有必要提前变现；对于逾期应收账款，则必须想办法尽快收回，应收账款逾期的时间越长，其收回的可能性就越小。1．应收账款的动态管理企业的财务部门应配合信用部门的工作，设立专人负责应收账款的管理。通过设计和填报各种表格，随时掌握企业应收账款的动态情况。财务部门应根据销售部门上报的销售记录进行汇总，然后写出分析报告，做出应收账款明细的月报，送信用部门的主管经理。同时，财务部门协助有关部门制定收回欠款的奖励制度，加速逾期账款回收。2．对应收账款进行分析信用部门应根据财务部门提供的应收账款明细表对客户的欠款情况进行分析，每月定期公布应收账款的催收计划。企业对每项应收账款要落实责任人，限期收回。企业负责人必须重视和加强对应收账款的催收工作。企业有关部门还应分析收回应收账款的可能性，掌握客户最新的财务信息，防止客户转移资产和抵押物。由应收账款账龄分析表，企业可以了解到以下情况：①有多少欠款尚在信用期内，欠款是正常的，但到期后能否收回，还要待时再定，故及时的催收仍是必要的。②有多少欠款超过了信用期，超过时间长短的款项各占多少，有多少欠款会因拖欠时间太久而可能成为坏账。对不同拖欠时间的欠款，企业应采取不同的收账方法，制定出经济可行的收账政策；对可能发生的坏账损失，则应提前做出准备，充分估计这一因素对损益的影响。3．逾期应收账款的催收工作企业在收到全额货款前，一定要把所有的销售资料保管好，以此作为催收乃至诉讼的依据。这些销售资料包括：销售合同、订单、发票、往来传真和信件、货运单据、信用申请表等一切能够证明企业对应收账款具有权利的文件。（1）逾期应收账款的处理原则。与客户的良好关系是企业维持市场份额的关键。因此，对于非恶意的客户应继续保持业务往来，力争以最低的成本完整收回欠款，并获得客户违约金或其他补偿；对不良客户应采取一切合法手段，将应收账款的损失降到最低；对资信很好的客户，了解客户的实际情况，如果客户仅仅处于暂时的付款困难，可以适当延长信用期，不能轻易得罪客户。（2）逾期应收账款的收款方式。企业的收款方式并无明确标准，企业信用部门应根据具体情况灵活机动地运用各种手段，既要维护企业利益，减少企业损失，又要尽可能地维持与客户的关系。企业向客户追收货款必须讲究方式，才能达到收回货款的目的。（3）必须考虑收账成本。在收款过程中，有一个重要的方面是必须考虑收账成本，也就是要从效益的角度考虑。因此，企业应尽可能采取最低的收账成本，将企业的损失减少到最小。以下一些收款方式可供借鉴：第一，由企业内部业务员直接出面：因为业务员亲自参与业务交易，对客户情况最熟悉。一般情况下，业务员可能与客户有多年的交情，见面易于沟通。第二，由企业内部专职机构出面：优点是可以集中多数人的智慧，采取最佳方法与客户接触谈判，避免可能出现的极端行为给追收造成的不必要麻烦。在这种情况下，也需要业务员的配合和支持。第三，委托社会追账机构出面：一般在客户态度强硬、故意欺诈的情况下，可以采取这种方式。委托专业的追账机构，管理部分或全部应收账款，在国外已被证明是一个较为有效的管理方式。它不但能节省企业的资源，减少并控制企业的运营成本，而且能够降低坏账风险，增加现金流入，提高应收账款的管理质量。（4）逾期应收账款的收款程序。一般逾期应收账款的催收程序从逾期之日开始，先通过电话、函件、传真、E－mail等较礼貌的方式，提醒客户账款已到期，应予付款。如果提醒没有结果，应通过对客户的现有资料进行分析，了解该笔业务发生的背景和可能无法收回的因素，寻找解决的方案。经过多次的函电、传真、及上门催收无结果后，对客户的催收压力应逐步增强，执行催收的每一步骤应形成文字记录，传真、函电等必须留底，以便作为坏账损失报损的文字依据。

循环群是只有一个元素生成的群，它的结构平凡而简单。第一个定理说明，每个阶数（无论无限还是有限）的循环群只有一种。证明很容易，其实就是说无限阶时与n是一样的，有限阶时与modn的剩余类群中的m是一样的。这个定理有点像拉格朗日定理的逆定理。已知子群，可以确定它的阶是大群的阶的因子，但是已知一个因子，它有没有一个对应的子群呢？这个定理告诉我们，在循环群里，它是肯定的。肯定是单位元了，但是当存在这样一个a，使得|G|恰好是把a单位化的最小数，Abel群G就成为了循环群。A单位化的最小正整数，我们一般称之为阶，它在数论中用途颇多。这个定理我们将来还会用到，它是判定循环群的一大利器。接下来我们研究循环群的自同构群。研究的方法虽然简单，但却抓住了本质。循环群最重要的是什么？就是它的生成元。生成元在自同构下会怎么样？肯定还是生成元！而自同构一定把生成元映射成生成元吗？那也是肯定啊，要不然生成元无处可去。有限阶群比无限阶群要复杂，我们要从他们的生成元起步。接下来的表示不超过n且与n互素的正整数组成集合，其上的乘法按照modn 定义，容易得到它是一个群。

段学复，数学家，数学教育家。长期从事代数学的研究，在有限群的模表示理论、代数李群、有限p群、群论与组合数学的应用等方面取得重要成果。培养了一大批代数学研究人才。自1952年始，任北京大学数学系系主任近40年。段学复，1914年7月29日出生，陕西省华县人。父亲段大贞为清光绪10年（1884年）甲申进士，母亲雷咏霓亦知书达理。10岁之前，段学复一直在家由父亲教语文，认方块字，读经史书籍。“得天下英才而教育之，一乐也”的教育思想对段学复起了较大的影响。与此同时，他还跟一位当时在北京学医科的堂兄学完了初小算术。当时附中的教育质量是很高的，教材先进，要求严格，还开有选修课。以傅种孙先生为代表的数学教学更是使段学复对数学产生了浓厚的兴趣。由于对数学的爱好，1932年高中毕业后段学复考入了清华大学数学系（当时称为“算学系”）。段学复在清华大学的4年中先后听过熊庆来、郑桐荪、杨武之、赵访熊、曾远荣等教授的课。这些老师各有特点，使段学复在分析、代数、几何诸方面都得以打下了坚实的基础。在此期间，段学复还选修了来校讲学的美国麻省理工学院N．维纳（Wiener）教授开设的傅立叶级数与傅立叶积分课，旁听了法兰西学院的J．阿达马（Hadamard）院士讲授的偏微分方程课。这些都使段学复开阔了眼界。体育课老师马约翰是使段学复终生难忘的又一位教师。在马教授的热情鼓励和科学训练下，原来非常瘦弱的段学复在一学期之后居然就能顺利地跑完一英里长的距离。正是由于健康状况大为改善，才使他得以在抗战期间经受住了几千里的长途颠簸。段学复刚入学便认识了华罗庚，从第二年起两人就相当熟了。他们和华罗庚在中文系的一个同乡王兆芹（时风），三个人常常一起吃完晚饭后就在校园里长距离散步，边走边谈，既聊数学，也谈时局。华罗庚对于学习数学的方法和作法，为段学复推荐的课外数学书籍等都对段学复有较大的影响和帮助。当时，日本侵略军正在不断扩大侵华战争。在民族生死存亡的紧要关头，段学复也受到了爱国主义的洗礼。他参加了1935年12月9日和12月16日的两次示威游行以及1936年2月29日晚在清华大学新体育馆的集体灭灯静坐，抗议大批军警闯入校园逮捕学生。1936年夏，段学复获得理学士学位，毕业留校任助教。1937年7月7日，日本侵略军借口所谓芦沟桥事件悍然侵占北平，挑起全面侵华战争。段学复于7月29日傍晚与母亲等三人一起离开北平，一路辗转颠簸，于当年10月来到由北京大学、清华大学和南开大学联合组成的长沙临时大学工作。次年4月6日段学复在西安与中学语文教师雷彬如女士结婚。此后不久，段学复又独自一人去昆明，在西南联合大学－清华大学任教。当年秋天，华罗庚从英国剑桥大学访问归来，成为西南联合大学－清华大学的教授。他讲授的“近世代数”课程以当时问世不久的B．L．范德瓦尔登（vanderWaerden）的《近世代数》第一卷为蓝本，但又做了不少的修改。段学复担任了刻写讲义和批改学生习题的任务。华罗庚还在教师中作过《域论八讲》的系列报告。这些都使段学复的代数学功底提高到一个新水平。另外，华罗庚还主持一个有限群讨论班，参加的有段学复、孙本旺、樊?和徐贤修等。大家轮流报告，素材是P．霍尔（Hall）刚发表不久的重要论文《对P－群理论的贡献》和H．查森豪斯（Zassen－haus）的《群论教程I》。从这时起，华罗庚与段学复开始合作研究p群的计数定理。这也是段学复从事代数学、特别是有限群方面的理论研究和培养人才工作的开端。1939年上半年，段学复考取了留英公费生。由于第二次世界大战爆发和日本侵华战争的扩大，他几经波折才于次年9月到达加拿大，进入多伦多大学。同时入学的还有郭永怀、钱伟长、林家翘等。多伦多大学数学系是当时加拿大最大的数学系，段学复的导师R．布劳尔（Brauer）当时正在创建有限群的模表示论。系里还有G．deB．鲁宾逊（Robinson）和H．S．M．考克斯特（Coxeter）等代数学方面的著名教授。段学复在多伦多选修了四门课程，其中包括布劳尔和鲁宾逊的群论。除此之外，段学复主要是在布劳尔的指导下进行研究，很快就取得了一些关于p群的成果，并于1941年获得硕士学位。此后他于1941年8月进入美国普林斯顿大学数学系攻读博士学位。普林斯顿在当时有世界数学中心之称，著名的代数学家J．H．M．韦德伯恩（Wedderburn）就在该校任教。C．谢瓦莱（Chevalley）则是系里30多岁的年轻助教授，学术上非常活跃。而普林斯顿高等研究院更是汇集了像A．爱因斯坦（Einstein）、H．外尔（Weyl）、J．冯·诺依曼（vonNeumann）等这样一批世界闻名的科学家。在这里，段学复参加了不少课程和讨论班，其中有谢瓦莱的代数几何基础和积分方程，外尔的代数数论和二次型的算术理论，C．L．西格尔（Siegel）的解析数论和超越数论。他还听了S．莱夫谢茨（Lefschetz）的拓扑课和A．丘奇（Church）的逻辑课等。在科研方面，段学复在布劳尔和谢瓦莱的指导下，通过听课、参加讨论班，特别是通过钻研他们已经发表的论文和尚未发表的文稿、书稿，最终与他们合作完成了有限群的模表示理论和李群、代数群两方面的重要工作。1943年段学复获得普林斯顿大学哲学博士学位。这之后，他继续留在该校做了两年的博士后，还到E．阿廷（Artin）处作过4个月的访问学习。在此期间，他曾任数学系研究助理。从1945年9月起，段学复到普林斯顿高等研究院担任外尔的助手，协助他开设很有特色的群论课，并帮助修订其经典名著《典型群》（1939），受到他的熏陶，一直到1946年回国。在国外的这6年是段学复的数学生涯中很重要的一个时期。这6年里，他学习过的课程几乎涉及到了基础数学的各主要领域。而有幸向布劳尔和谢瓦莱这两位大师学习并与之合作，对于段学复的影响更是不言而喻的。抗战胜利以后，段学复婉言辞谢了外尔的挽留，毅然决定回国。他认为：落叶归根，祖国总是要回去的；不管怎样，自己的事业只能在中国！1946年7月段学复回到上海。在上海他见到了即将全家赴美的华罗庚，并与之一起参加了李公朴、闻一多两位烈士的追悼会。与此同时，段学复还会见了当时正在筹建中央研究院数学研究所的陈省身。陈省身聘请段学复作数学研究所的兼任研究员，负责指导新从浙江大学毕业到所的曹锡华。1946年10月段学复回到了阔别9年的清华园，任清华大学数学系教授，从第二年起任代理系主任。在这段时间里，他连续开设了高等代数、高等微积分、近世代数、点集拓扑等课程。1946－1947学年他指导应届毕业生万哲先的毕业论文。1947年上半年，他又指导当时已转到清华大学的曹锡华学习抽象代数和模表示论，并于1948年下半年推荐他赴美到当时在密执根大学任教的布劳尔处作博士研究生。现在曹锡华已经在华东师范大学建立起了活跃的代数群科研集体。在代理系主任期间，段学复聘请了许宝騄、申又枨、庄圻泰等北京大学教授到清华大学兼课，又聘请由英国回来的闵嗣鹤到清华大学任教。1948年12月13日清华园先北平而解放。段学复被任命为数学系主任。在中华人民共和国的新气象鼓舞下，他不顾自己大病初愈的身体，以极大的热情投身到繁重的教学、科研和行政领导工作中去。1950年春天华罗庚从美国回到清华大学，与其同时回国的程民德也应邀到清华大学任教。在全系教师的共同努力下，从1949年到1952年，清华大学数学系为中华人民共和国培养出了一批后来成为各方面骨干的优秀人才，其中在代数学及其相近领域工作的有万哲先、丁石孙、曾肯成、裘光明、王萼芳等人。段学复从1950年至1987年一直担任中国数学会常务理事，1950－1952年参加了中国科学院数学研究所的筹建工作，1952年任北京大学数学力学系主任，1955年被选为中国科学院学部委员。他参加了1956年国家“十二年科学远景规划”等全国科学规划及数学学科规划的制定和名词审定工作，参加了教育部和高教部的科研规划、教学计划的制定以及教材编审工作。1981年上半年段学复主动辞去了北京大学数学系主任的职务。但他的工作担子并没有减轻很多。1981—1984年他担任国务院学位委员会第一届数学评议分组成员兼召集人之一，同时还任北京大学数学系和数学研究所学术委员会主任。他曾任《中国科学》、《科学通报》、《数学学报》、《数学通报》和《数学年刊》编委，《数学进展》主编（1980－1987）、名誉主编。他还是《中国大百科全书》总编委会委员，数学卷执行副主编，数论、代数学分组主编。中国群表示论的奠基人几十年来，段学复先后发表了约30篇学术论文以及一些其他论著。作为一个数学家，段学复的研究领域主要是代数学。他的最早也是最重要的成就是在有限群的模表示论，特别是指标块及其在有限单群和有限线性群构造研究中的应用上。有限群的模表示论研究有限群在特征为素数P的域上的表示，当P能够整除群的阶时，其表示与通常的有限群在特征0的域上的表示有很大的不同，理论更加复杂、深刻。这一理论自1935年由布劳尔创立，到40年代已初具规模。就在这时段学复开始了这方面的研究工作。在布劳尔1942年发表的重要论文《论阶恰含某素数的一次幂的有限群》的指引下，他在同一题目的博士论文（普林斯顿大学，1943年）中，在与布劳尔合作并继续布氏的工作而完成的两篇论文中取得了一些迄今仍有意义的重要成果。它们主要是：（1）得出了其阶为pqbm的某些单群的结构，其中p和q是互不相同的素数，b和m为正整数且满足m≤p－1。（2）证明了L．E．迪克森（Dickson）在其《线性群》一书中所列出的单群表直到阶都是完全的。（3）对于pg'阶的线性群，这里p为素数且（p，g'）=1，当其维数≤（2p十1）/3时，确定了它们的构造。为了得到这些结果，段学复证明了模表示论的一些基本事实，例如他确定了pg'阶群的p块的布劳尔树的重要性质。他证明的三个引理，分别被人们称为“（布劳尔－段－）斯坦顿（Stanton）原则”、“（布劳尔－段）指标块分离原则”和“布劳尔－段定理”。几十年已经过去，但这些成果并未失去它们的光彩。这一方面是由于它们所涉及的问题始终是有限群理论研究的主流，这些工作是后来发展的起点；另一方面也是由于现有的新结果仍然无法绕过或者替代段学复自己以及他和布劳尔合作得到的上述结果。正因为如此，这些结果被详细地写入W．费特（Feit）的表示论名著《有限群的表示理论》，并为群论工作者广泛引用。据不完全统计，在1945年以来的数学论著中，引用段学复的论文的就有30多处。50－60年代，段学复沿着这一研究方向继续工作。这期间他在北京大学组织过两次有限群模表示论讨论班，指导青年教师和研究生。特别是通过1964－1966年的讨论班培养的研究生洪加威、李慧陵，他们决定了一些特殊类型的单群。就在他们有可能取得突破性进展时，“文化大革命”开始了，我国在这个方向的研究被中断。也正是在这个时候，有限单群分类的工作在国际上轰轰烈烈地开始了。“文化大革命”以后，段学复指导学生继续进行这方面的研究工作，其中突出的是博士生张继平。他用表示论和单群分类定理彻底解决了维数小于p的复线性群的结构问题。段学复在代数李群方面也做了出色的工作。复数域上的代数李群是一个复矩阵群，其中的矩阵由其系数所满足的一组代数方程式所决定。这一概念的萌芽早在上个世纪末就已出现，这之后被人们遗忘了50年。但在此期间，E．嘉当（Cartan）和外尔对李群李代数进行了深入的研究。1943年，谢瓦莱首先在其题为《矩阵间的一种新关系》的论文中引进了利用矩阵的张量不变量而得到的矩阵复型的定义，然后又进一步利用矩阵的复型给出了特征为0的域上n维矩阵李（Lie）代数的子代数为代数李代数的定义。这时段学复跟随他学习李群、李代数，并合作发表了论文，概述了谢瓦莱－段学复合作工作的证明线索，而全文则因为两位作者之间的联系一度中断，迟至6年以后才得以发表。在文中他们证明了代数李群的如下基本定理：“每个代数李群的李代数是代数的李代数，而每个复数域上的代数李代数必定是某个代数李群的李代数”。由于有了这个定理，就可以利用李代数的方法把代数李群推广到特征为0的任意域上去。著名数学家A．博雷尔（Borel）曾经指出：40年代中期谢瓦莱和段学复用李代数的方法把代数李群推广到特征零的任意域上，这是1955年线性代数群一般理论诞生的前奏。80年代中，蓝以中曾进行与代数李代数有关的研究。事实上，段学复在这方面最早的一篇论文是《关于幂零矩阵的复型的一个注记》。在这篇论文中，段学复对前述谢瓦莱的第一篇文章里的定理6，给出了一个利用矩阵若尔当（Jordan）标准型的计算的直接而简单得多的证明，并将其加强且推广到特征p≠0的域上。由于P．L．M．叙洛夫（Sylow）定理的成立，p群的研究在有限群理论中具有特殊的意义。早在30年代末霍尔关于p群的重要论文刚发表不久，段学复就开始了这方面的研究。他与华罗庚合作研究了含有指数为p2（p>2）的循环子群的p群，给出了有关的计数定理，并对这种群作了完全分类，其结果用英文发表。在此基础上，华罗庚进行推广，引进了p群的秩（即pn阶群中包含的最大循环子群的指数pn－a中的a）和伪基底的概念，证明了任意奇数阶p群必有伪基底，并证明了循环子群的个数的米勒（Miller）定理的推广等计数定理（见“p群的某些计数定理”）。段学复运用华罗庚的上述结果，通过精细的分析计算，对于奇数阶p群中子群个数的库拉考夫（Kyπaков）定理进行了推广，证明了奇pn阶秩a的p群中pm阶子群的个数N（m）modp3当2a+1≤m≤n时必为1，1十p，1十p十p2或1十p十2p2之一。这方面后来有很多外国尤其是苏联的数学家进行研究，至今仍然吸引着研究者的注意。段学复还对华罗庚的伪基底定理给出了一个更加简明的证明。主要从80年代初起，段学复和王萼芳的学生徐明曜、唐守文等人在上述几篇论文的思想指引下和发展中进行工作，在p群的幂结构和换位子结构之间的联系上取得了研究成果。唐守文继续段学复1939年对于具有循环弗拉蒂尼（Frattini）子群的有限p群的工作，最终给出了这类p群的一个完全分类。段学复在《关于p群的一个定理》中，利用换位元素的运算法则证明了：若p群G包含一个最大交换正规子群A且G/A为循环群，则A/Z≌K，其中Z是G的中心而K是G的换位子群。对于G的上、下中心群列中相应的子群，他也证明了存在相应的同构。这项工作为一些中外学者所引用。布劳尔与段学复还有一些未发表的关于p群的工作，手稿保留至今。电子计算机的出现使组合数学与离散数学得到了蓬勃的发展，而有限群理论与组合数学（包括区组设计、有限几何、图论等）、编码理论以及密码学等等都有着密切的联系。同时，有限群的计算机方法、算法复杂度以及实用软件的研制等工作也由于其理论意义和实用价值，从60年代起得到了迅速的发展。70年代前期，段学复为某科研部门进行了几项应用问题的研究，所给出的方法在实际工作中使计算时效提高了许多倍。他还与其他同志一道开办讲习班，为实际工作部门培养了一批专门人才，受到有关部门的嘉奖。“文化大革命”以后，他进一步在计算群论与组合数学方面开展研究工作，并与王萼芳一起合作培养了王杰等5名这个方向的博士和硕士研究生。1985年，段学复领导的群论科研集体中的王萼芳、石生明、徐明曜三人的“有限群及其表示论与组合数学”科研项目被评为国家教委优秀科技成果，他的《有限群对一类组合问题的应用》获某科研部门科技成果奖。1985年10月9日，段学复荣获中国科学院“从事科学工作50年荣誉奖状”，1989年11月1日荣获中国科学院“学部委员荣誉章”。1990年12月荣获国家科委、国家教委“从事科技工作40年荣誉证书”。毕生为建系、育才而奋斗1952年，为了更好地适应全国解放所带来的各项事业的飞速发展，教育部在较大范围内对所属高等院校的地区分布、专业设置以及教学科研力量的配备等方面作了合理的调整。北京大学新的数学力学系由原来的老北京大学、清华大学以及燕京大学三校的数学系组建而成，段学复受聘为系主任。新中国百业待举，需要大量的各种人才。北京大学任重道远，仅数学力学系每年就要招收近200名大学生，培养约十名研究生。然而，院系调整后的北京大学数学力学系仅有30名左右的教师，只有分析和高等数学两个教研室。不仅缺乏微分方程、概率统计以及计算数学等重要学科方向的教学科研力量，而且由于西方对我国的全面封锁，就连课堂教学用的教材都十分稀少。面对这一艰巨而繁重的任务，年仅38岁的段学复团结全系教职工，特别是1955年以后，在系副主任程民德教授的协助下，支撑体弱多病的身体为筹建新的数学力学系倾注了大量的心血。首先是在学习苏联上下功夫：一是派出去，曾先后有4名教师赴苏学习；二是请进来，有系主任顾问、苏联力学家别洛娃（Белва）到系亲自指导5名力学研究生，且不久之后就在校教务长周培源教授的支持和协助下，成立了全国第一个力学专业。身为系主任的段学复十分重视发挥专家的作用，无论工作多么繁忙也要安排与别洛娃会谈工作，在1953－1954学年中甚至每周一次。值得一提的是，在国内推广重要的教学环节——习题课正是在这个时候开始的。当时到系里讲学的苏联代数学及概率论专家E．Б．邓肯（Дынкин）和波兰数理统计学家菲茨（Fitz），为在国内领先成立概率论教研室作出了贡献。其次是创造条件，充分发挥国内专家的力量，如配合高等教育部于1954年在北京大学数学力学系举办了常微分方程和偏微分方程的讲习班，听讲的有来自全国各地的教师100多人，这为扩大专业队伍进而设置微分方程教研室带了个好头。1955年，北京大学数学力学系又成立了计算数学教研室，为在国内发展这一方向奠定了基础。此后，北京大学数学力学系还与莫斯科大学制备了科学研究合作规划。在教材建设方面，自50年代起，在段学复的亲自参加下，经全系教师的努力，先后译出了A．Г．库洛什（Kypoш）的《高等代数》、A．Я．辛钦（Хинчин）的《数学分析》和B．И．斯米尔诺夫（Cмирнов）的《高等数学教程》等书籍，解决了教学的急需，其中公开出版的也为兄弟院校提供了良好的教材和参考书。就这样，在全系干部和教职员工的共同努力下，从1952年到1966年，北京大学数学力学系为国家培养出了约2000名本科毕业生和数十名研究生，同时在科研方面也取得了很好的成绩。系主任的工作是非常繁忙的，段学复的身体不好，长期患有胃肠溃疡。但就在这种情况下，他的教学和科研工作一直没有停过。他多次开设高等代数、近世代数、李代数等课程，带研究生，指导学生撰写论文。1952－1966年段学复在其他同志的协助下，培养出了许以超、沈光宇、蓝以中、徐明曜、卢才辉等代数方面的本科生和石生明、洪加威、李慧陵等研究生。特别应当指出的是，段学复在1952－1966年间举办了两期有限群模表示论讨论班。第一次是在1954—1955年，他与聂灵沼、万哲先合作撰写讲义，无保留地提出自己所了解的重要研究课题，引导王萼芳研究阶≤27000的有限单群，取得了成果。第二次是受教育部的委托于1964—1966年间举办的。段学复与王萼芳合作编写了讲义，并有陈重穆等外单位教师和本系的研究生参加，开展专题研究、撰写论文。现在陈重穆已经在西南师范大学建立起了活跃的有限群科研集体。1960—1966年段学复还兼任北京电视大学数学系主任，两次参加北京市中学生数学竞赛工作，写文章、作报告，并撰写了《对称》一书，为普通教育和成人教育付出了心血。从1978年起，随着我国学位制度的建立，段学复在其他同志的协助下，集中力量培养出了有限群及其表示论和计算群论与组合数学这两个方向的5名博士和14名硕士研究生，还指导了一名博士后。同时也培养了丘维声等中青年教师和一些外校的进修教师。1988年，他参加编写的《高等代数》获国家教委“全国高等学校优秀教材奖”。段学复曾多次参加国内外学术会议，在大会上做学术报告。1982年他主持中国数学会第一届全国代数学学术交流会，1984年主持北京国际群论讨论会，并主编了会议论文集。直到1988年离休之后，段学复仍然在为我国的数学事业勤奋工作。近年来他承担着国家自然科学基金和国家教委博士点基金的科研项目，培养博士生、指导博士后。同时他仍然用相当大的精力关心和帮助青年教师的成长。段学复的座右铭是“实事求是，认真严谨”。多年的治学经历使他深深体会到，科学是老老实实的学问，任何一点调皮都是不行的。必须勤学多练，打好基础，学深学透，做到能够灵活运用，至少有一两手过得硬的功夫。抓住问题后，要在掌握前人已有的主要工作的基础上，开阔思想，多方探索，锲而不舍，以期一旦贯通，得到成果。他以发现人才、培养人才为乐事，认为：师不必贤于弟子，能培养出胜过老师的学生是为师的最大快乐。段学复曾经多次患病，特别是1959年夏天做的直肠癌切除手术，给他带来了永久性的不便和困难。但他始终保持乐观主义的态度，与疾病做了顽强的斗争，一直坚持工作。