求毕业论文逐步逼近法的应用

第一节中有介绍

我们采用皮卡（Picard）的逐步逼近法来证明这个定理。 为简单起见，只就区间来讨论，对于的讨论完全一样。 现在简单叙述一下运用逐步逼近法证明定理的主要思想。首先证明求微分方程的初值问题的解等价于求积分方程 的连续解。然后去证明积分方程的解的存在唯一性。 任取一个连续函数代入上面积分方程右端的,就得到函数 ，显然 也是连续函数， 如果,那末就是积分方程的解。否则,我们又把代入积分方程右端的，得到 ，如果，那末就是积分方程的解。否则我们继续这个步骤。一般地作函数 () 这样就得到连续函数序列：，，…，，…如果，那末就是积分方程的解。如果始终不发生这种情况，我们可以证明上面的函数序列有一个极限函数，即 存在，因而对()取极限时，就得到 即，这就是说是积分方程的解。这种一步一步地求出方程的解的方法就称为逐步逼近法。由()确定的函数称为初值问题()、()的第次近似解。在定理的假设条件下，以上的步骤是可以实现的。

Picard逐步逼近法是求解常微分方程的一种有效方法。

Picard逐步逼近法的迭代公式：

对于本例，dy / dx=x^2-y^2 ,|x|<1,|y|<1的第二次近似解，可以这样来求解

由Picard逐步逼近法可知 y= x^3/3- x^7/63（第二次近似解）为方程dy / dx=x^2-y^2过点（0，0）的解。