微积分在经济学中的应用论文

摘 要：微积分作为数学知识的基础 ,是学习经济学的必备知识 ,着重讨论了微积分在经济学中最基本的一些应用，计算边际成本、 边际收入、 边际利润并解释其经济意义, 寻求最小生产成本或制定获得最大利润的一系列策略。� 关键词：微积分；边际分析；弹性；成本；收入；利润；最大值；最小值� 1 导数在经济分析中的应用� 边际分析在经济分析中的的应用� 边际需求与边际供给� 设需求函数Q=f（p）在点p处可导（其中Q为需求量，P为商品价格），则其边际函数Q�’=f�’(p)称为边际需求函数，简称边际需求。类似地，若供给函数Q=Q(P)可导（其中Q为供给量，P为商品价格），则其边际函数Q=Q(p)称为边际供给函数，简称边际供给。� 边际成本函数� 总成本函数C=C(Q)=C�0+C�1(Q)；平均成本函数=(Q)=C(Q)Q；边际成本函数C�’=C�’(Q)．C�’(Q�0)称为当产量为Q�0时的边际成本，其经济意义为：当产量达到Q�0时，如果增减一个单位产品，则成本将相应增减C�’�’(Q�0)个单位。� 边际收益函数� 总收益函数R=R(Q)；平均收益函数=(Q)；边际收益函数R’=R’(Q)．� R’(Q�0)称为当商品销售量为Q�0时的边际收益。其经济意义为：当销售量达到Q�0时，如果增减一个单位产品，则收益将相应地增减R�’(Q�0)个单位。� 边际利润函数� 利润函数L=L(Q)=R(Q)-C(Q);平均利润函数;=(Q)边际利润函数L’=L’(Q)=R’(Q)-C’(Q).L’(Q�0)称为当产量为Q�0时的边际利润，其经济意义是：当产量达到Q�0时，如果增减一个单位产品，则利润将相应增减L’(Q�0)个单位。� 例1 某企业每月生产Q（吨）产品的总成本C（千元）是产量Q的函数，C(Q)=Q�2-10Q+20。如果每吨产品销售价格2万元，求每月生产10吨、15吨、20吨时的边际利润。� 解：每月生产Q吨产品的总收入函数为：� R（Q）=20Q� L（Q）=R（Q）-C（Q）=20Q-（Q�2-1Q+20）� =-Q�2+30Q-20� L’(Q)=(-Q�2+30Q-20)’=-2Q+30� 则每月生产10吨、15吨、20吨的边际利润分别为� L’(10)=-2×10+30=10（千元/吨）；� L’(15)=-2×15+30=0（千元/吨）；� L’(20)=-2×20+30=-10（千元/吨）；� 以上结果表明：当月产量为10吨时，再增产1吨，利润将增加1万元；当月产量为15吨时，再增产1吨，利润则不会增加；当月产量为20吨时，再增产1吨，利润反而减少1万元。� 显然，企业不能完全靠增加产量来提高利润，那么保持怎样的产量才能使企业获得最大利润呢？� 弹性在经济分析中的应用� 弹性函数� 设函数y=f(x)在点x处可导，函数的相对改变量Δyy=f(x+Δx)-f(x)y与自变量的相对改变量Δxx之比，当Δx→0时的极限称为函数y=f(x)在点x处的相对变化率，或称为弹性函数。记为EyEx•EyEx=�lim�δx→0 �Δ�yy�Δ�xx=�lim�δx→0�Δ�y�Δ�x．xy=f’(x)xf(x) 在点x=x�0处，弹性函数值Ef(x�0)Ex=f’(x�0)xf(x�0)称为f（x）在点x=x�0处的弹性值，简称弹性。EE�xf(x�0)%表示在点x=x�0处，当x产生1%的改变时，f（x）近似地改变EE�xf(x�0)%。� 需求弹性� 经济学中，把需求量对价格的相对变化率称为需求弹性。� 对于需求函数Q=f（P）(或P=P（Q）)，由于价格上涨时，商品的需求函数Q=f(p)（或P=P(Q)）为单调减少函数，ΔP与ΔQ异号，所以特殊地定义，需求对价格的弹性函数为η(p)=-f’(p)pf(p)� 例2 设某商品的需求函数为Q=e��-p5�，求(1)需求弹性函数；(2)P=3,P=5,P=6时的需求弹性。� 解：(1)η(p)=-f’(p)pf(p)=-(-15)e��-p5�.pe��-p5�=p5；� (2)η(3)=35=;η(5)=55=1;η(6)=65=� η(3)=<1，说明当P=3时，价格上涨1%，需求只减少，需求变动的幅度小于价格变动的幅度。� η(5)=1，说明当P=5时，价格上涨1%，需求也减少1%，价格与需求变动的幅度相同。 η(6)=>1，说明当P=6时，价格上涨1%，需求减少，需求变动的幅度大于价格变动的幅度。� 收益弹性� 收益R是商品价格P与销售量Q的乘积，即� R=PQ=Pf(p)� R’=f(p)+pf’(p)=f(p)(1+f’(p)pf(p))=f(p)(1-η)� 所以，收益弹性为EREP=R’(P).PR(P)=f(p)(1-η)ppf(p)=1-η � 这样，就推导出收益弹性与需求弹性的关系是：在任何价格水平上，收益弹性与需求弹性之和等于1。� （1）若η<1，则EREP>0价格上涨（或下跌）1%，收益增加（或减少）(1-η)%；� （2）若η>1，则EREP<0价格上涨（或下跌）1%，收益减少（或增加）|1-η|%；� （3）若η=1，则EREP=0价格变动1%，收益不变。� 最大值与最小值在经济问题中的应用� 最优化问题是经济管理活动的核心，各种最优化问题也是微积分中最关心的问题之一，例如，在一定条件下，使成本最低，收入最多，利润最大，费用最省等等。下面介绍函数的最值在经济效益最优化方面的若干应用。� 最低成本问题� 例3 设某厂每批生产某种产品x个单位的总成本函数为c(x)=mx�3-nx�2+px，（常数m>0,n>0,p>0），（1）问每批生产多少单位时，使平均成本最小？（2）求最小平均成本和相应的边际成本。� 解：（1）平均成本(X)=C(x)x=mx�2-nx+p，�C’�=2mx-n� 令�C’�，得x=n2m，而�C’’�(x)=2m>0。所以，每批生产n2m个单位时，平均成本最小。� （2）(n2m)=m(n2m)�2-n(n2m)+p=(4mp-n�24m)，又C’(x)=3mx�2-2nx+p，C’(n2m)=3m(n2m)�2-2m(n2m)+p=4mp-n�24m所以，最小平均成本等于其相应的边际成本。� 最大利润问题� 例4 设生产某产品的固定成本为60000元，变动成本为每件20元，价格函数p=60-Q1000（Q为销售量），假设供销平衡，问产量为多少时，利润最大？最大利润是多少？� 解：产品的总成本函数C(Q)=60000+20Q� 收益函数R(Q)=pQ=(60-Q1000)Q=60Q-Q�21000� 则利润函数L(Q)=R(Q)-C(Q)=-Q�21000+40Q-60000� L’(Q)=-1500Q+40,令L’(Q)=0得Q=20000� ∵L’’(Q)=-1500<0∴Q=2000时L最大，L（2000）=340000元� 所以生产20000个产品时利润最大，最大利润为340000元。 � 2 积分在经济中的应用� 在经济管理中，由边际函数求总函数（即原函数），一般采用不定积分来解决，或求一个变上限的定积分；如果求总函数在某个范围的改变量，则采用定积分来解决。� 例5 设生产x个产品的边际成本C=100+2x，其固定成本为C�0=1000元，产品单价规定为500元。假设生产出的产品能完全销售，问生产量为多少时利润最大？并求出最大利润。� 解:总成本函数为� C(x)=∫��x��0(100+2t)dt+C(0)=100x+x�2+1000� 总收益函数为R(x)=500x� 总利润L(x)=R(x)-C(x)=400x-x�2-1000，L’=400-2x，令L’=0，得x=200，因为L’’(200)<0。所以，生产量为200单位时，利润最大。最大利润为L(200)=400×200-200�2-1000=39000（元）。� 在这里我们应用了定积分,分析出利润最大,并不是意味着多增加产量就必定增加利润,只有合理安排生产量,才能取得总大的利润。� 综上所述，对企业经营者来说，对其经济环节进行定量分析是非常必要的。将数学作为分析工具，不但可以给企业经营者提供精确的数值，而且在分析的过程中，还可以给企业经营者提供新的思路和视角，这也是数学应用性的具体体现。因此，作为一个合格的企业经营者，应该掌握相应的数学分析方法，从而为科学的经营决策提供可靠依据。

微积分的基本思想及其在经济学中的应用

摘要： 微积分局部求近似、极限求精确的基本思想贯穿于整个微积分学体系中，而微积分在各个领域中又有广泛的应用，随着市场经济的不断发展，微积分的地位也与日俱增，本文着重研究微分在经济活动中边际分析、弹性分析、最值分析的应用，以及积分在最优化问题、资金流量的现值问题中的应用。

关键词：微分   积分   基本思想   应用

微积分是人类智慧最伟大的成就之一，局部求近似、极限求精确的基本思想是进一步学习高等数学的基础。随着市场经济的不断发展，利用数学知识解决经济问题显得越来越重要，运用微分和积分可以对经济活动中的实际问题进行量化分析，从而为企业经营者的科学决策提供依据。

1. 微积分的产生、发展及其作用

微积分思想的萌发出现的比较早，中国战国时代的《庄子·天下》篇中的“一尺之锤，日取其半，万事不竭”就蕴涵了无穷小的思想。经查阅文献《晏能中.微积分——数学发展的里程牌》得知：到了十七世纪，欧洲许多数学家也开始运用微积分的思想来写极大值与极小值，以及曲线的长度等等。帕斯卡在求曲边形面积时，用到“无穷小矩形”的思想，并把无穷小概念引入数学，为后来莱布尼兹的微积分的产生奠定了基础。

随着数学科学的发展，微积分得到了进一步的发展，其中欧拉对于微积分的贡献最大，他的《无穷小分析引论》、《微分学》、《积分学》三部著作对微积分的进一步丰富和发展起了重要的作用。之后，洛必达、达朗贝尔、拉格朗日、拉普拉斯、勒让德、傅立叶等数学家也对微积分的发展作出了较大的贡献。由于这些人的努力,微分方程、级数论得以产生，微积分也正式成为了数学一个重要分支。

微积分的创立改变了整个数学世界。微积分的创立，极大的推动了数学自身的发展，同时又进一步开创了诸多新的数学分支，例如：微分方程、无穷级数、离散数学等等。此外，数学原有的一些分支，例如：函数与几何等等，也进一步发展成为复变函数和解析几何，这些数学分支的建立无一不是运用了微积分的方法。在微积分创设后这三百年中，数学获得了前所未有的发展。

2. 微积分的基本思想———局部求近似、极限求精确

微积分是微分学和积分学的总称，它的基本思想是：局部求近似、极限求精确。以下我们具体阐述微分学与积分学的思想。

微分学的基本思想

微分学的基本思想在于考虑函数在小范围内是否可能用线性函数或多项式函数来任意近似表示。直观上看来，对于能够用线性函数任意近似表示的函数，其图形上任意微小的一段都近似于一段直线。在这样的曲线上，任何一点处都存在一条惟一确定的直线──该点处的“切线”。它在该点处相当小的范围内，可以与曲线密合得难以区分。这种近似，使对复杂函数的研究在局部上得到简化。

积分学的基本思想

积分学的最基本的概念是关于一元函数的定积分与不定积分。蕴含在定积分概念中的基本思想是通过有限逼近无限。因此极限方法就成为建立积分学严格理论的基本方法。微分与积分虽然是微观和宏观两种不同范畴的问题，但它们的研究对象都是“非均匀”变化量，解决问题的基本思想方法也是一致的。可归纳为两步：a.微小局部求近似值；b.利用极限求精确。微积分的这一基本思想方法贯穿于整个微积分学体系中，并且将指导我们应用微积分知识去解决各种相关的问题。

3.微分在经济学中的应用

随着经济的发展及数学理论的完善,数学与经济学的关系越来越密切,应用越来越广泛.微积分作为数学知识的基础,介绍微积分与经济学的书也越来越多,然而大部分书或者着重介绍经济学概念或者着重介绍数学理论,很少有主要介绍微积分在经济学中的应用的书.本文将通过对一些简单的微积分知识在经济学中的应用,以使人们意识到理论与实际结合的重要性.

弹性分析

在文献《蔡芷.财会数学》中，某个变量对另一个变量变化的反映程度称为弹性或弹性系数。在经济工作中有多种多样的弹性，这决定于所考察和研究的内容，如果是价格的变化与需求反映之间有关系，那么这个反映就称为需求弹性。由于具体商品本身属性的不同以及消费需求的差异，同样的价格变化给不同商品的需求带来的影响是不同的。有的商品反应灵敏，弹性大，涨价降价会造成剧烈的销售变动；有的商品则反应呆滞，弹性小，价格变化对其没什么影响。

4.积分在经济学中的应用

积分学是微分学的逆问题，利用积分学来研究经济变量的变化问题是经济学中的一个重要方法，不定积分是求全体原函数，定积分是求和式的极限。由边际函数求原函数，或求一个变上限的定积分，一般都采用不定积分来解决；如果求原函数在某个范围的改变量，则采用定积分来解决。对企业经营者来说，对其经济环节进行定量分析是非常必要的，不但可以给企业经营者提供精确的数值，而且在分析的过程中，还可以给企业经营者提供新的思路和视角。

5.总结：

微积分局部求近似、极限求精确的基本思想方法贯穿于整个微积分学体系中，在经济日益发展的今天，微积分的地位也与日俱增，贷款、养老金、医疗保险、企业分配、市场需求等等金融问题越来越多地进入普通人的生活，利用微积分的知识有利于我们去解决各种相关的问题。

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