数学小论文魔方的研究

这个是我得市2等奖的论文：关于三阶魔方变换概率的问题成都与林中学高2012级10班 王维祎一、 引言：魔方（Rubik's Cube），也称鲁比克方块。是匈牙利布达佩斯建筑学院厄尔诺�6�1鲁比克教授在1974年发明的。魔方发明后不久就风靡世界，人们发现这个小方块组成的玩意实在是奥妙无穷。当大立方体的某一面平动旋转时，其相邻的各面单一颜色便被破坏，而组成新图案立方体，再转再变化，形成每一面都由不同颜色的小方块拼成。据专家估计三阶魔方的总变化数约等于�6�11019。二、三阶魔方变换的限制条件因为在转动魔方时，转动一次会破环一层，即21个色块，所以需要考虑很多限制情况。也就是魔方永远不会出现的情况。一、魔方不能单独翻转一个棱色块。想象我们对6个中心色块定好了我们喜爱的方向，我们就定好了一个坐标系，这个坐标系的原点就是魔方的体中心。坐标有明确的正负方向。我们可以看见魔方的每一个棱色块都是有一条棱的、，对应于水平、前后、竖直x,y,z三个轴，分别有4条棱和他们每一个平行，我们把这4条棱都标上一个箭头，指向正的方向。现在如果你有一个魔方可以这样做一下。我们现在想象空间中有了这样一个坐标系，和12个箭头。考虑任意面的旋转，（我这里不考虑3个中面的旋转，(因为，1，这样动了坐标系，2，中面的旋转可以等效两个侧面的旋转。)，这时我们不考虑魔方，和魔方的花色，把他看成透明的，我们只考虑箭头，每次任意面旋转90度，我们都会让2个箭头改变方向（由正变负），我们只看结果，不考虑转的过程，不区分箭头哪来的。 翻转一个面90度是魔方的原子操作，他只能同时改变2个箭头的方向。所以我们最后不可能得到其他块不变只有1个箭头被翻转，也就是不可能只有一个棱色块被翻转。 二、不能单独翻转一个角色块。首先我们考虑1234四个数的排列问题。1234变成4123，是所有数向右推移一位的变换。大家联想一下魔方，每转一个面90度，4个角，4个棱都是这种变换是吧。 1234变4123 我以后简称（1234），其实也好记，就是1到2，2到3， 3到4，4到1， 要是（1432）就是1到4，4到3，3到2，2到1，就是向左推移。 （1234）是由几个“交换两个数”的变换组成的呢。这里直接给出答案(1234)=(12)(13)(14),(12)的意思就是1到2，2到1。 具体说，我们看 1234变化的过程是这样： �6�1 （12） 2134 �6�1 （13） 3124 �6�1 （14） 4123 正好就是变换（1234）。 这样我们知道（1234）是经过奇数个交换得到的。 任何一个变换都可以由若干个两两交换得到。因为对于一个目标排列如2413，我怎么做呢， 这里面内在的道理就涉及群论的初步。这可能叫做循环群，我不确定，因为我没看过书。 1234全排列有4!=24个，而对1234的变换也有24种。他们构成一个群即一堆元素。 首先需要知道角色块的方向是如何定义的。因为角色块会处在8个不同的位置，他的方向却只有3种，我怎么定义一个移动的坐标，又能准确标示出这3种方向变化呢？ 首先让你的视线穿过一个角色块的顶点和整个魔方的体中心，你会看到一个Y，以你的视线为轴，这个角色块可以旋转，有3个位置。如下：0° 120° 240°试试转一个侧面，看看色块在新的位置朝向是怎样的？如果你转一个魔方的右侧面90度，你会发现最靠近你眼睛的那个角色块的朝向转过了120度。盯住这个色块，再转一下，他转到下面来了，为了仍然呈现一个Y，我们这时可以将 魔方底面翻上来，这时我们发现这个角色块又转回了0如此等等。重点是，你观察任何一面的90度旋转，4个角色块，他们的朝向 旋转过的角度总和 一定是360度的整数倍 ，准确的说就是120+240+240+120。 因为，转一个面是最小的原子操作，所以无论经过怎样多少步的操作，我们所有角色块角度变化和都是360*n，所以我们不可能只将一个色块旋转120度或者240，而让其他色块不变化，也因此我们证明了为什么不能单独翻转一个角色块。 三、不能只对调一对色块。1. 封闭性：a和b是群里的元素，那么a*b也是。 2. 存在元素e（其实就是类比乘法里的1）。a*e=e*a=a 3. 每个元素a 都有唯一逆元a-1, a*a-1=a-1*a=e 4. 结合律 (a*b)*c=a*(b*c) �6�1 首先1234是一个排列，他对应了一种变换，就是不变，我用（1）来表示，他就是满足定义第二条的元素e。 �6�1 封闭性，这是显然的，因为只有24种排列，和对应的变换，跑不出去。 �6�1 逆元都是有的，就是把每步逆序然后取反，肯定都在这24个变换当中。 �6�1 结合律看似挺麻烦，其实是显然的，因为(a*b)*c，a*(b*c)的意思都是先a再b再c。 这样他们构成了一个群， 为什么呢？其实我现在也不好说构成了一个群就怎么样。我只是说我可以用群的一些性质。知道这个结构的一些特点了。也可以用分析群的一些视角，一些想法来分析这个系统。 首先我们看这24个变换。 �6�1 (1), 偶 �6�1 (12), (13), (14), (23), (24), (34), 奇 �6�1 (123),(132), (124),(142),(134),(143),(234),(243)偶 这是15个，还剩9个，如果不明白什么意思，看前面，我说一个（243）意思是2到4，4到3，3到2，他把1234的1不动，234三个数字轮换的向左推移一位变成1342。 还有显然的 �6�1 (1234),(1432),奇 �6�1 (14)(23), (13)(24),(12)(34)偶 还剩4个 他们是 �6�1 (13)(12)(24), (12)(14)(13), (14)(23)(12), (13)(24)(12) 奇 我们叫有奇数个 两两交换 组成的变换为奇变换，反之为偶变换，其实就是把群元素标出奇偶性。 我们看到两个奇变换运算得到偶变换，而两个偶变换运算永远得不到奇数变换。 这样偶变换事实上构成了一个子群。 也就是说他们做运算是封闭的。他们是 �6�1 (1), 偶 �6�1 (123),(132), (124),(142),(134),(143),(234),(243)偶 �6�1 (14)(23), (13)(24),(12)(34)偶 这12个元素构成了一个子群。 我好像想错了一些事情，呵呵。 不过前面写出的都是正确的。我可能以后会用到 回到为什么不能只对调一对色块。 为什么？因为一个原子操作，将一个面旋转90度，将4个角做了（1234）或（1432）是一个3个交换的奇变换，4个棱同样是3个交换的奇变换，这样他对所有的色块做的变换总的效果是一个偶变换。 所以对于所有色块的排列，我们能够达成的都是偶变换，而只对调一对色块是一个奇变换。不可能达成。 因此，我们证明了为什么不能只对调一对色块。（至此我们终于完成了魔方总变化数的完整证明，充分而又必要：）一、 计算魔方有多少种变化情况二、 由上局限性证明，得三阶魔方总变化数计算公式： 四、总结。三阶魔方总变化数的道理是这样：六个中心块定好朝向后，我们就不可以翻转魔方了，而他们也正好构成了一个坐标系，在这个坐标系里，8个角色块全排列8!，而每个角色块又有3种朝向，所以是8!*38，12个棱色块全排列每个有2种朝向是12!*212，这样相乘就是分子，而分母上3*2*2的意义是，保持其他色块不动，不可以单独改变一个角色块朝向，改变一个棱色块朝向，和单独交换一对棱色块或一对角色块的位置。

很多人都以为阿拉伯数字是阿拉伯人发明的,可是我一直对他很怀疑,果不出我所料,今天数学课上老师介绍了阿拉伯数字的真正的来历.原来这是一个误会!阿拉伯数字真正的发明者是印度人,因为当时阿拉伯人的航海业很发达 ,他们把数字从印度传到了阿拉伯,欧洲人从他们的书上了解了这种简便的记数方法,就认为是他们发明的,所以称它为阿拉伯数字,后来这个误会又传到了中国. 最后,我很想对印度人说:"谢谢你们给我们人类带来了这么大的方便,就因为这样,我很喜欢数学.不仅数字王国很神奇,而且数学的历史知识更是丰富

魔方啊魔方，你真了不起，哦也！

可参考各种数学书的前言或去百度上找【数学 论文】

魔方变幻 惊人的天文数字 魔方有多少种可以达到的状态？答案是 43252003274489856000 约 4000 亿亿。 算法： 8 个角方块排列在 8 个位置， 12 个棱方块排列在 12 个位置，共有 8！ × 12 ！种。又每个棱方块有 2 个朝向，每个角方块有 3 个朝向， 共 3^8 × 2^12 种。因此魔方的状态数是 8！ × 12 ！× 3^8 × 2^12 ＝ 519024039293878272000 种，51902亿亿以上。 但在 20 个方块中， 18 个位置确定，另外 2 个位置也就确定了。因此要去掉因子 2 ！。在 8 个角方块中， 7 个朝向确定，第 8 个朝向也就确定了；在 12 个棱方块中， 11 个朝向确定，第 12 个朝向也就确定了。这样要再去掉 3 × 2 因子，实际是上面数的 1/12 ，即总数 8！ × 12 ！× 3^7 × 2^11/2=43252003274489856000 . 从另一个角度考虑上面的除数 12 .如果我们确定了 6 种颜色，每种颜色涂在魔方的1 个表面上的9个小方块上。然后然后我们拆开魔方，再打乱了重新拼装起来，那么并不是所得到的每个魔方都能还原为初始状态。具体说， 有519024039293878272000 种拼法，可以分为 12 类，每类 43252003274489856000 种。同类里任何两个状态可以相互转换，而不同类间不能转换。

文明礼仪伴我行的手抄报资料 2010-09-05 10:28 提问者： 183ffss |浏览次数：31925次我来帮他解答 精彩回答2010-09-05 18:42说起爱护公物，也许有人会认为这是老生常谈，因为类似“爱护公物光荣，破坏公物可耻”、“爱护公物，人人有责”这样的口号恐怕连幼儿园小朋友也能说上几条。但现实生活中的我们又做得怎么样呢？细心观察就会发现，校园里破坏公物的现象比比皆是：有同学为求近路而不惜践踏草坪；踢球时不小心打碎了教室的门窗；户外运动中弄坏了校园里的公共桌椅、栏杆和垃圾桶；课桌椅上经常会看见各式各样的涂鸦……你有没有想过，不论是有意还是无意，这些行为都对公物造成了损坏，也给其他同学的学习和生活带来了不必要的麻烦，还会增加学校对公物的维修费用，这可是一笔不小的开支。每当看到这些不文明行为，你也许会皱着眉头嘟囔一句：缺德！是的，这些人所缺少的正是“公德心”，不讲社会公德，不遵规守纪。他们从来也不曾意识到原来自己也是这些公物的“主人”，不知道公物是大家公用的物品，每一个人都有爱护公物的义务。“人无德不立，国无德不兴”。公民道德的好坏，体现着一个民族的精神状态，影响着一个民族事业的兴衰。一个人的言行，往往表现出个人素质的高低，进而影响整个集体的总体素质状况。一个公民是否爱护公共设施，从小处讲可以反映出一个人道德素质的高低，一个学校校风的好坏；从大处讲也反映了一个国家文明程度及民族素质的高低。我国颁布的《公民道德建设实施纲要》中提出了“文明礼貌、助人为乐、爱护公物、保护环境、遵纪守法”为主要内容的社会公德。作为中华人民共和国公民，我们都应该按这个要求规范自己的行为。古人云：“勿以善小而不为，勿以恶小而为之。”其实爱护公物做起来也很简单，只要拥有一颗公德之心，处处遵守学校的各项规章制度，就能保证公共设施的完好无损与正常使用。注重我们的礼仪什么是礼仪呢？简单地说，礼仪就是律己、敬人的一种行为规范，是表现对他人尊重和理解的过程和手段。文明礼仪，不仅是个人素质、教养的体现，也是个人道德和社会公德的体现。更是城市的脸面，更是国家的脸面。所以我们作为具有5000年文明史的“礼仪之邦”，讲文明、用礼仪，也是弘扬民族文化、展示民族精神的重要途径。在一个国家中个人是主体。对于个人来说什么最重要呢？我想首先应该是具备文明素质，只有当每一个人都具备了文明素质，那么这个国家的整体素质才能提高。在我们身边，在一部分同学身上，还存在着一些不文明的行为。例如，在我们的校园内、楼梯上总能见到与我们美丽的校园极不和谐的纸屑，教室里、校园内食品袋、方便面盒随处可见，甚至有的同学认为：反正有值日的同学和清洁工打扫，扔了又何妨；再例如有的同学在教学楼走廊上追逐打闹，走路推推搡搡习以为常；还有部分同学相互之间讲脏话、粗话，随意攀爬树枝，甚至还有个别同学故意损坏学校的公共财物。我们很多同学把文化知识的学习放在首位，而常常忽略了社会公德的培养，文明习惯的养成，而这恰恰从本质上展现出一个人的思想品质。事实上，良好的行为习惯，是保证我们顺利学习的前提，也是树立健康人格的基础。在学校没有良好的行为习惯的同学就可能目无纪律，不讲卫生，扰乱班级的学习环境。相反，如果我们养成了文明的行为习惯，学习环境就一定是良好的、有序的。我们知道：一个学校的学生具有良好的文明行为习惯，才能构建出优良的学习环境，创设出优良的学习气氛。现在，我们正处于人生中最关键的成长时期，我们在这个时期的所作所为，将潜移默化的影响到我们自身的心理素质，而文明的行为就在帮助我们提高自身的心理素质，同时也完善了自身的道德品质，如果我们不在此时抓好自身道德素质的培养，那我们即使拥有了丰富的科学文化知识，于人于己于社会又有何用呢？所以，我们首先应该做一个堂堂正正的人，一个懂文明、有礼貌的谦谦君子，然后才是成才，不能做一部单纯掌握知识技能的机器，而要成为一个身心和谐发展的人。文明就是我们素质的前沿，拥有文明，那我们就拥有了世界上最为宝贵的精神财富。]要养成良好的文明习惯，做文明的小学生。那么请我们每一个人管住我们的口，不说粗话、不随地吐痰；管住我们的手，不乱扔垃圾、不打架斗殴；管住我们的脚，不践踏草坪。我相信，经过我们全体师生共同努力，一定会营造出一个文明美好的校园。试想假如全国每一个校园都共同创建文明校园，那么我们民族的整体素质将大大提高，国家的综合实力将会大大加强，祖国的yelin52888 |三级采纳率27%擅长领域：暂未定制提问者对回答的评价：谢谢按默认排序|按时间排序 其他回答 共8条 2013-02-05 16:58wanghongyuhi|二级说起爱护公物，也许有人会认为这是老生常谈，因为类似“爱护公物光荣，破坏公物可耻”、“爱护公物，人人有责”这样的口号恐怕连幼儿园小朋友也能说上几条。但现实生活中的我们又做得怎么样呢？细心观察就会发现，校园里破坏公物的现象比比皆是：有同学为求近路而不惜践踏草坪；踢球时不小心打碎了教室的门窗；户外运动中弄坏了校园里的公共桌椅、栏杆和垃圾桶；课桌椅上经常会看见各式各样的涂鸦……你有没有想过，不论是有意还是无意，这些行为都对公物造成了损坏，也给其他同学的学习和生活带来了不必要的麻烦，还会增加学校对公物的维修费用，这可是一笔不小的开支。每当看到这些不文明行为，你也许会皱着眉头嘟囔一句：缺德！是的，这些人所缺少的正是“公德心”，不讲社会公德，不遵规守纪。他们从来也不曾意识到原来自己也是这些公物的“主人”，不知道公物是大家公用的物品，每一个人都有爱护公物的义务。“人无德不立，国无德不兴”。公民道德的好坏，体现着一个民族的精神状态，影响着一个民族事业的兴衰。一个人的言行，往往表现出个人素质的高低，进而影响整个集体的总体素质状况。一个公民是否爱护公共设施，从小处讲可以反映出一个人道德素质的高低，一个学校校风的好坏；从大处讲也反映了一个国家文明程度及民族素质的高低。我国颁布的《公民道德建设实施纲要》中提出了“文明礼貌、助人为乐、爱护公物、保护环境、遵纪守法”为主要内容的社会公德。作为中华人民共和国公民，我们都应该按这个要求规范自己的行为。古人云：“勿以善小而不为，勿以恶小而为之。”其实爱护公物做起来也很简单，只要拥有一颗公德之心，处处遵守学校的各项规章制度，就能保证公共设施的完好无损与正常使用。注重我们的礼仪什么是礼仪呢？简单地说，礼仪就是律己、敬人的一种行为规范，是表现对他人尊重和理解的过程和手段。文明礼仪，不仅是个人素质、教养的体现，也是个人道德和社会公德的体现。更是城市的脸面，更是国家的脸面。所以我们作为具有5000年文明史的“礼仪之邦”，讲文明、用礼仪，也是弘扬民族文化、展示民族精神的重要途径。在一个国家中个人是主体。对于个人来说什么最重要呢？我想首先应该是具备文明素质，只有当每一个人都具备了文明素质，那么这个国家的整体素质才能提高。在我们身边，在一部分同学身上，还存在着一些不文明的行为。例如，在我们的校园内、楼梯上总能见到与我们美丽的校园极不和谐的纸屑，教室里、校园内食品袋、方便面盒随处可见，甚至有的同学认为：反正有值日的同学和清洁工打扫，扔了又何妨；再例如有的同学在教学楼走廊上追逐打闹，走路推推搡搡习以为常；还有部分同学相互之间讲脏话、粗话，随意攀爬树枝，甚至还有个别同学故意损坏学校的公共财物。我们很多同学把文化知识的学习放在首位，而常常忽略了社会公德的培养，文明习惯的养成，而这恰恰从本质上展现出一个人的思想品质。事实上，良好的行为习惯，是保证我们顺利学习的前提，也是树立健康人格的基础。在学校没有良好的行为习惯的同学就可能目无纪律，不讲卫生，扰乱班级的学习环境。相反，如果我们养成了文明的行为习惯，学习环境就一定是良好的、有序的。我们知道：一个学校的学生具有良好的文明行为习惯，才能构建出优良的学习环境，创设出优良的学习气氛。现在，我们正处于人生中最关键的成长时期，我们在这个时期的所作所为，将潜移默化的影响到我们自身的心理素质，而文明的行为就在帮助我们提高自身的心理素质，同时也完善了自身的道德品质，如果我们不在此时抓好自身道德素质的培养，那我们即使拥有了丰富的科学文化知识，于人于己于社会又有何用呢？所以，我们首先应该做一个堂堂正正的人，一个懂文明、有礼貌的谦谦君子，然后才是成才，不能做一部单纯掌握知识技能的机器，而要成为一个身心和谐发展的人。文明就是我们素质的前沿，拥有文明，那我们就拥有了世界上最为宝贵的精神财富。]要养成良好的文明习惯，做文明的小学生。那么请我们每一个人管住我们的口，不说粗话、不随地吐痰；管住我们的手，不乱扔垃圾、不打架斗殴；管住我们的脚，不践踏草坪。我相信，经过我们全体师生共同努力，一定会营造出一个文明美好的校园。试想假如全国每一个校园都共同创建文明校园，那么我们民族的整体素质将大大提高，国家的综合实力将会大大加强，祖国的未来一定是繁荣昌盛