数学建模糖尿病论文范文

数学建模 实验报告 姓名：学院： 专业班级： 学号： 数学建模实验报告（一） ——用最小二乘法进行数据拟合 一．实验目的： 1. 学会用最小二乘法进行数据拟合。 2. 熟悉掌握matlab 软件的文件操作和命令环境。 3. 掌握数据可视化的基本操作步骤。 4. 通过matlab 绘制二维图形以及三维图形。 二．实验任务： 来自课本 64页习题： 2 用最小二乘法求一形如y=a+bx 的多项式，使之与下列数据拟合： 三．实验过程： 1. 实验方法：用最小二乘法解决实际问题包含两个基本环节：先根 据所给出数据点的变化趋势与问题的实际背景确定函数类；然后按照最小二乘法原则求最小二乘解来确定系数。即要求出二次多项式: y=a+bx 的系数。 2 2．程序： x=[19 25 31 38 44] y=[ ] ab=y/[ones(size(x));x.^2]; a=ab(1),b=ab(2) xx=19:44; plot(xx,a+b*xx.^2,x,y,".") 3. 上机调试 得到结果如下： x = 19 25 31 38 44 y= a = b = 图形： 四． 心得体会 通过本次的数学模型的建立与处理，我们学习并掌握了用最小二 乘法进行数据拟合，及多项式数据拟合的方法，进一步学会了使用matlab 软件，加深了我们的数学知识，提高了我们解决实际问题的能力，为以后深入学习数学建模打下了坚实的基础。 数学建模实验报告（二） ——用Newton 法求方程的解 一． 实验目的 1. 掌握Newton 法求方程的解的原理和方法。 2. 利用Matlab 进行编程求近似解。 二． 实验任务 来自课本109页习题4-2： 用Newton 法求f(x)=x-cosx=0的近似解 三． 实验过程 1. 实验原理： 把f(x)在x0点附近展开成泰勒级数 f(x) = f(x0)+(x－x0)f"(x0)+(x－x0)^2*f""(x0)/2! +… 取其线性部分，作为非线性方程f(x) = 0的近似方程，即泰勒展开的前两项，则有f(x0)+f"(x0)(x－x0)=0 设f"(x0)≠0则其解为x1=x0－f(x0)/f"(x0) 这样，得到牛顿法的一个迭代序列：x(n+1)=x(n)－f(x(n))/f"(x(n))。 2. 程序设计： function y=nd(x) y= x-cosx function y=nd0(x) y=1+sinx 主程序 x=0; %迭代初值 i=0; %迭代次数计数 while i y=x-nd(x)/nd0(x); %牛顿迭代格式 if abs(y-x)>10^(-5); %收敛判断 x=y; else peak end i=i+1; end fprintf("\n%s%.4f \t%s%d","x=",x,"i=",i) %输出结果 四． 实验心得 通过这次实验我掌握了Newton 法求解方程的方法。并通过 编程进一步熟悉了Matlab 的使用方法。在实验过程中仍然遇到了不少的困难，比如说编程调试部分，需要有很大的耐心去修改，再调试。而在这一步步的改进过程中发现自己的进步。 数学建模实验报告（三） ——用Jacobi 迭代法求解线性方程组 一． 实验目的 2. 掌握Jacobi 迭代法求解线性方程组的方法 3. 学会用Matlab 编程求解方程 二． 实验任务 课本155页习题1： 性方程组： 取初始向量x=(0, 0, 0) ，用Jacobi 迭代法求解线 t x +2x -2x =1x +x +x =3 2x +2x +x =5 11 2 3 2 3 1 2 3 三． 实验过程 1. 方法原理：迭代法就是用某种极限过程逐渐逼近线性方程组精确解的方法。迭代法的基本思想是构造一串收敛到解的序列，即建立一种从已有近似解计 算新的近似解的规则。 将方程组() 中系数矩阵 () 分解为 其中为A 的对角矩阵， () -L,-U 分别为A 的严格下三角矩阵与A 的严格上三角矩阵. 假定 (i=1,2,…，n) ，则D 非奇异. 取M=D,N=L+U,则得 1 1称为解方程组的Jacobi 迭代法，简称J 法. 计算时可写成如下分量形式： 2. 程序： a=[1 2 -2;1 1 1;2 2 1] d=[1;3;5] x=[0;0;0]; %初始向量 stop= %迭代的精度 L=-tril(a,-1) U=-triu(a,1) D=inv(diag(diag(a))) X=D*(L+U)*x+D*d; n=1; while norm(X-x,inf)>=stop x=X; X=D*(L+U)*x+D*d; n=n+1; end X % J迭代公式 % 时迭代中止否则继续 n 3．上机调试： 得实验结果： a = 1 2 -2 1 1 2 2 d = 1 3 5 stop = L = 0 0 -1 0 -2 -2 U = 0 -2 0 0 0 0 D = 1 0 0 1 0 0 1 1 0 0 0 2 -1 0 0 0 1 X = 1 1 1 n = 4 四． 实验体会 通过本次实验，我掌握了高斯-赛德尔迭代法，雅可比迭代法求解线性方程的实验方法。此实验报告中只列出了雅可比迭代法的求解程序。但从实验结果来看，高斯-赛德尔迭代法要比雅可比迭代公式的收敛速度快，可见雅可比迭代法并不是一种理想的求解方法，但在一些简单地线性方程中，雅可比迭代法还是比较简单方便的。关于程序的编写也是翻阅了大量资料才得出的，其中犯了不少的语法错误，可见我对matlab 软件还不是很熟练，得加强学习。

汽车停止距离的模型摘要：本模型是针对某次某司机的考核结果而建立的。分析本题后可知，汽车所停止的距离可分为反应距离与制动距离即刹车距离，可表示为： 分别建立出反应距离、制动距离与速度 的模型，此过程中运用了最小二乘法以及Matlab中数据的最小二乘拟合，最后得所需的模型。得到模型后，对模型的可行性代入实际数据进行模型检验，且在中实现，并根据结果对所得模型进行优化，最终得到了一个比较令人满意的结果。关键字：反应距离 制动距离 最小二乘法 数据的最小二乘拟合1问题重述一辆汽车停止距离可分为两段，一段为发现情况时到开始制动这段时间里行驶过的距离 ，这段时间称为反应时间。另一段则为制动时间驶过的距离 。现考核司机，考核结果如下： 行驶速度 36 Km/h 3 m m 50 Km/h 5 m m 70 Km/h 7 m m(1) 求出停车距离D的经验公式。(2) 设制动力正比于车重，建立理论分析模型，并求出D的公式。 2 符号说明及基本假设 符号说明： —— 车辆停止时所驶过的总距离 （米） ——反应距离 （米） ——制动距离 （米） ——汽车的行驶速度 （千米/小时） ——制动力与车重的比例 ——反应距离与速度的比例 ——刹车后汽车停止所需的时间 ——刹车后某一时刻车辆移动的距离 ——加速度 ——汽车质量 ——制动力 ——制动距离与 的比例 ——偏差的平方和 ——常数 基本假设（1）所得的数据真实可靠；（2）忽略天气、汽车性能等因素的影响。3模型的建立、分析与求解采用Matlab做出汽车停车距离D与速度V的关系图形，代码如下：>> V=[36 50 70];>> D=[ ];>> plot(V,D),xlabel('V'),ylabel('D'),grid on,title('汽车停车距离D与速度V的关系图形')可得其图形为： 图1则由图1可知汽车停车距离D与速度V成线性关系，故可设停车距离D的经验公式为： 采用Matlab对上式进行数据的最小二乘拟合：根据题目所给的数据可得：36 3 5 7 表1根据表1数据，在Matlab中输入代码如下：>> V=[36 50 70];>> D=[ ];>> A=polyfit(V,D,1)A = 故可得： 所以停车距离D的经验公式为： 汽车在反应时间里的速度可认为是匀速运动，故可得反应距离： = 采用最小二乘法求解该关系式：令M= 欲使所得M的值最小，则应满足： 从中可解得 ..............................................................................(1)根据题目所给的数据可得：36 3 1296 108 50 5 2500 250 70 7 4900 490 156 15 8696 848 表2由表2的数据可得： ， 将以上所得数据代入（1）可得： 所以反应距离： 制动距离 与速度 的关系式：由题意可知，制动力正比于车重，故可设：F= m..................................(2)又由牛顿第二运动定律得：F= .............................................................(3)由运动规律得： ...........................................................................(4)联立（2）、（3）、（4）三式可得： 对上式两边同时进行积分得： .............................................(5)当t=0时， ，将之代入(5)式得： 当 时， ，将之代入（5）是式得： 又由运动规律可知： ......................................................................(6)将（6）式代入（5）式得： 对上式两边同时进行积分得： .............................(7)当t=0时，S=0，将之代入（7）式得： 当 时， ，将之代入（7）式得： 所以 正比于 ，故可令： 对上式两边分别取对数得： 采用最小二乘法求解该关系式：令 欲使所得M的值最小，则应满足： 即得： ......................................................(8)根据题目所给的数据可得： 表3根据表3数据可知： ， 将以上所得数据代入（8）可得： 即得 故 与 的关系式为： 所以停车距离D的公式为： 4 模型的检验、评价与优化对第一个模型的检验：第一个模型： 在Matlab中输入代码如下：>> syms D V>> x=[36 50 70];>> y=[ ];>> V=18:;>> D=*;>> plot(x,y,'r*',V,D);grid可得其图形为： 图2 根据图2可知，该模型的图像恰好经过了这三点，但由于该模型是根据经验数据所得出的，并没有经过理论分析，所以所得模型是比较的粗糙，跟实际有出入，不适合推广。对第二个模型的检验：第二个模型： 在Matlab中输入代码如下：>> syms D V>> x=[36 50 70];>> y=[ ];>> V=18:;>> D=*V+*V.^2;>> plot(x,y,'r*',V,D);grid可得其图形为： 图3根据图3知，虽然第二个模型并没有经过这三个点，但这三个点均比较的靠近该图形。考虑到实际所测得的数据有存在误差，据此所得的模型应该与实际比较的符合。再者，该模型是根据理论充分的论证、分析所得，与实际相吻合。又易知，当速度 时，停车距离 。综上所述，第二个模型与实际比较的符合。第二个模型结合了理论，又通过了实际数据的检验，所以较第一个模型而言适合推广。如果能够得到更多的实际数据，那么，模型就能够得到进一步的验证。对第二个模型的优化：为了能够得到更好的拟合曲线，我们可以对第二个模型进行适当的优化，可设停车距离D与速度V的关系式为： 采用Matlab对上式进行数据的最小二乘拟合：在Matlab输入代码如下：>> V=[36 50 70];>> D=[ ];>> A=polyfit(V,D,2)A = 故可得： 所以所得的优化模型为： 对所得的优化模型进行检验：优化模型： 在Matlab中输入代码如下：>> syms D V>> x=[36 50 70];>> y=[ ];>> V=18:;>> D=*V.^2+*;>> plot(x,y,'r*',V,D);grid可得其图形为： 图4根据图4知，优化模型的拟合度非常的高，但应该要注意的一点是，当汽车速度为零时，该模型预测汽车的停止距离为 。采用Matlab求解该模型的根，在Matlab中输入代码如下：> syms D V>> D=[];>> V=roots(D)V = * 所以仅当 时， 。故该模型所应用的范围不大。参考文献[1]赵静，但琦.数学建模与数学实验.北京：高等教育出版社；海德堡：施普林格出版社，2000.[2]Frank .数学建模(叶其孝，姜启源等译）.北京：机械工业出版社，2005.[3]姜启源，谢金星，叶俊.数学模型.北京：高等教育出版社，2003.[4]谢云荪，张志让.数学实验.北京：科学出版社，1999.[5]张德丰.Matlab数值分析与应用.北京：国防工业出版社，2007.

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