研究集合论悖论论文

从哲学上来看，矛盾是无处不在的、不可避免的，即便以确定无疑著称的数学也不例外。数学中有大大小小的许多矛盾，比如正与负、加法与减法、微分与积分、有理数与无理数、实数与虚数等等。但是整个数学发展过程中还有许多深刻的矛盾，例如有穷与无穷，连续与离散，乃至存在与构造，逻辑与直观，具体对象与抽象对象，概念与计算等等。在整个数学发展的历史上，贯穿着矛盾的斗争与解决。而在矛盾激化到涉及整个数学的基础时，就产生数学危机。矛盾的消除，危机的解决，往往给数学带来新的内容，新的进展，甚至引起革命性的变革，这也反映出矛盾斗争是事物发展的历史动力这一基本原理。整个数学的发展史就是矛盾斗争的历史，斗争的结果就是数学领域的发展。The First数学发展史上的第一次危机发生于古希腊时期，当时毕达哥拉斯学派所倡导的是一种称为"唯数论"的哲学观点。他们认为宇宙的本质就是数的和谐，一切事物都必须而且只能通过数学得到解释。而他们所谓"数的和谐"是指一切事物和现象都可归结为整数或整数与整数之比。他们深信这一观点无比正确，因此广泛利用它来解释各种现象。而后不久希帕索斯发现无理数的事件，而这一事件是由于一个简单的不公度线段的发现而引起的。在一般人看来，对于任何两条不一样长的线段，我们都能找到第3条线段，使给定的两条线段都包含第3条线段的整数倍。可是希帕索斯却发现，对于边长为的正方形，设它的对角线为x，根据勾股定理，则有：这里出现的，正好是1与2的比例中项。但是无论如何找不到两个整数之比等于。也就是说，x 和之间不可能是整数的比例关系，也就不可能找到一条线段，使x和都包含它的整数倍。因此，从数学的推导可以得出结论，那就是，与我们直观的观察和想像相反，的确存在着不可公度的线段，即不具有共同度量单位的线段。不可公度线段的出现对毕达哥拉斯学派是一个沉重的打击，但这一怪现象毕竟是学派内部的人发现的，因此被称为毕达哥拉斯悖论或希帕索斯悖论。希帕索斯为此而献出生命，但他的死并没有消除悖论的存在，却使数学界产生了极度的思想混乱，从而爆发了第一次数学危机。这次数学危机的解决导致无理数的诞生。美籍华人数学家项武指出，有理数的准确翻译应该是"可比数"，无理数的准确翻译应该是"不可比数"。经过这次惨痛的教训，古希腊数学家不得不承认直观和经验并非绝对可靠。因此他们对一些凭经验而得到的几何知识都要求严格的推理加以证明，正是在这个过程中促进了欧氏几何和非欧几何的诞生。The Second数学史上的第二次危机发生在17世纪，涉及的是微积分理论基础的问题，是由贝克莱悖论引起的。当时虽然微积分理论刚刚建立，但由于它在自然科学的理论研究和实际应用中的重要作用而引起人们高度的重视。它能提示和解释许多自然现象，但是却缺乏令人信服的严格理论基础，在推导过程中存在着明显的逻辑矛盾。例如：对于 y =x2 而言，根据牛顿的流数计算法有：y+△y=(x+△x)2 （1）x 2+△y=x2+2x△x+（△x）2 （2）△y=2x△x+（△x）2 （3）在上述推理中，从（3）到（4），要求△x不等于零，因为要用△x作除数。而从（4）到（5），又要求△x等于零，因为△x小到可以忽略不计，因此从（4）到（5）时将其舍去了。按照其物理意义，就非匀速运动而言，如果认为无穷小量△x、△y为0，那么就相当于。按照数学的传统法则，这是无意允许的。事实上，在这种情况下，也根本没有运动发生。但如果认定△x不为零，那么就仍然是平均速度，根本不是瞬时速度。正因为无穷小方法中包含着这类矛盾，受到许多数学家的指责。特别是基督教大主教贝克莱在1734年出版的《分析学家》的小册子中，对这一矛盾的指责达到高潮。贝克莱说："无穷小最初不是零，才能在（3）到（4）时作除数，而在（4）到（5）时，又作为零而舍弃，这违反了矛盾律。无穷小如果是零就不能作除数，如果不是零，就不能舍弃。"这就是著名的"贝克莱悖论"。贝克莱悖论又一次引起数学界的思想混乱，导致了第二次数学危机的爆发。为解决这一悖论，无数人投入了大量的劳动。终于由法国数学家柯西首先给出了极限的定义；"若代表某变理的一串数值无限地趋向于某一数值时，其差可任意小，则该固定值称为这一串数值的极限。"很明显，这个定义给无穷小一个准确的概念，完全摆脱了与几何直观的联系。接着他又以极限概念为基础，分别建立了连续、导数、微分、积分等理论。从19世纪下半叶开始，极限理论逐渐取代了无穷小量的方法，在数学分析基础理论中占有了统治的地位，这样才能消除了第二次数学危机。The Third由于严格的实数理论和极限理论的建立，第一次、第二次数学危机都得到了解决。许多人认为数学世界应该太平了。殊不知实数理论和极限理论都是以集合论为基础的。因此当由集合论的悖论所引起的第三次数学危机爆发的时候，它实际上可以看作是前两次危机的继续和深化。它所涉及的问题比前两次更广泛，引起的危机感也更加强烈。从17世纪开始的300年中，出现了一大批杰出的数学家，像笛卡尔、牛顿、莱布尼兹、柯西、阿贝尔、康托尔、费尔马、伯努力利家族、欧拉、拉普拉斯、希尔伯特等。他们的卓越工作成就，把近代数学宫造成了一座高度严密和既抽象又确定的"数学迷宫"。数学表达的精确化和理论系统的公理化思想，深深渗透到人类知识的各个领域。数学家们为自己建造的数学大厦即将竣工而狂喜，认为数学理论的严密性已经完成，特别是基础理论已不成问题。法国知名数学家彭加勒竟然在1900年于巴黎召开的国际数学家代表大会上自豪的宣布："数学的严格性，看来直到今天才可以说是完全地实现了。"正当人们陶醉于胜利之中时，正当康托尔所创立的饱经磨难的集合论已为大家所接受，并逐渐深入到数学的各个分支时，精确数学的万里晴空上却飘来了一片乌云。这片乌云就是英国的哲学家、数学家罗素提出的关于"集合论"的悖论。它导致了数学史上第三次危机。这个悖论用数学语言应该这样叙述：具有某种相同属性的事物的全体称为集合，组成该集合的每个事物称为元素。但集合一般可分为两大类，一类A={自身是自身元素}，另一类B={自身不是自身元素}。例如由许多图书馆所构成的集合M仍然是图书馆，所以M是属于自己的元素的集合，M属于A。而由全体自然数所构成的集合N就不再是自然数，所以N是自己不属于自己的元素的集合，N属于B。那么罗素问：B的全体也是一个集合，它属于哪一类？若属于A，那么B是自身不是自身元素的集合，则B也属于B；若属于B，B是自身是自身元

罗素悖论,广为人知的是其通俗形式,即理发师悖论.理发师悖论是说：有一个理发师给自己定了个规则,他只给那些不给自己刮脸的人刮脸,而不给那些给自己刮脸的人刮脸.这规则就导出了一个矛盾,他是否该给自己刮脸?如果他自己刮脸的话,那么他属于“给自己刮脸”的人,因而按规则,他就不该给自己刮脸；如果他自己不刮脸的话,那么他属于“不给自己刮脸”的人,因而按规则,他就应该给自己刮脸.如此一来,理发师就陷入了怪圈,他给自己刮脸不对,不给自己刮脸也不对,总之他就是个错误的存在. 罗素悖论源自对集合论的思考,集合论中当然就不是理发师这样的通俗版本了.“集合”是一个很原初的概念,它无法再由其他概念来定义了,表征的其实是把某些东西放在一块的状态.定义集合,可以通过枚举,即把集合里的东西一件件列出来,对大集合这当然就很费时费力；另一种方法是通过描述来定义集合,也就是对集合中元素的描述来给出集合,比如“所有自己刮脸的人”就是用描述产生集合的.但正是在这种“描述”方法里,理发师悖论产生了.理发师悖论可以看作是理发师对其客户集合的一种描述,他想明确一下他的客户,但这时却出现了集合论中大问题：不是所有描述都可以成为“集合”.数学作为理性思维的典范,作为其基础的“集合”自然应该相当地“普世”,而现在却发现,数学中的“真理”却依赖于人为的“选择”,你只有适当地选择了“集合”,才能保证数学的“真理”.那么,数学结果的“真理”性,就依赖于人的选择了,与人的选择相关,“真理”还是真理吗?这就是第三次数学危机中的核心问题. 通常认为理发师悖论只是因为描述规则涉及了自身,只要在定义集合时把包含自身的集合排除掉,就可以解决理发师悖论了.但对集合论中原始问题的考察就可以知道,问题不是这么简单的,罗素悖论还涉及语言学的根本问题,即在日常语言里存在可以被描述但实际上却根本没有的东西,语言中的某些概念并不是那么可靠的,很多概念可能是没有指称的.现在一般都知道,西方哲学在20世纪有所谓“语言学的转向”,即西方人将对哲学的研究转向为对语言的研究,认为任何思想都要通过语言来表述,如果能对语言的规则进行充分研究,就可以把语言中可能产生问题的规则排除掉,那么剩下来的“好”规则自然就能产生又纯又正的“好思想”了.“好”的语言的规则显然应该与个人的特殊偏好无关,它应该适用于所有人,是某种“普世”的规则.而罗素悖论却表明,“规则”不能把自身也规则进去,“规则”只能用于整治别人,如果把自己也包含进去,就免不了悖论了.因而“规则”无法“普世”,普世的“规则”并不是可靠性的保证,它不能保证生成的东西肯定是有意义的.“描述”可以符合纯形式的语法规则,但符合规则却不能保证描述出来的肯定是个“东西”,它完全可能“不是个东西”.因而,西方哲学家们试图通过对纯形式的语言规则的研究来给出思想正确性的判定,其努力必然是徒劳的,思想的正确与否,离不开对内容的考察,离不开拥有思想的人.,

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