毕业论文工具变量

​在前面的最小二乘法讲解中 （ 回归分析中的问题和修正的探讨（下篇） ， 最小二乘法的6个假设 (中篇) ）， 有遇到广义最小二乘法GLS 、2阶段最小二乘法2SLS、和工具变量IV。这里探讨一下， 这三个方法在某些情况下的等价性。 引言 数学背景好的GLS Alexander Aitken 是新西兰伟大的数学家， 在1935年， 他是爱丁堡大学University of Edinburgh的博士，当时就研究数据的平滑 Smoothing of Data，  之后搞精算数学和统计。广义最小二乘法GLS就是他发明的。经济+统计的IVPhilip Green Wright 在1928年就阐述了基本思想，用在回归方法论上， 但是知道1945年才被 Olav Reiersøl ， 一个挪威的经济学家，在他的博士毕业论文中，正式用来定位为处理变量误差的经典方法。 Wright毕业于Tufts College的本科， 哈佛的经济学博士，后来又回到Tufts当社会经济学教授。 Tufts特意收集了他的照片墙， 来纪念他发明了工具变量。经济基因的2SLS 2阶段和3阶段最小二乘法 2SLS/3SLS都是经济学家 Henri Theil 发明的（1953年和1962年）。Theil是荷兰乌特勒支大学Utrecht University发物理出身的， 战后1951年在阿姆斯特丹大学University of Amsterdam转学经济。 年轻的时候超级帅。他有句名言，就是模型是被用的，而不是被信的。所以， 按发明时间来说，IV最早被发明(1928年)， GLS其次(1935)，而2SLS是最晚的(1953)。可能跟线性代数的发展历史有一定关系， 是因为IV建立在相关性基础上， 但是GLS需要方差矩阵表示的发展， 而2SLS需要线性方程组的发展基础。 所以说线性代数在经济和统计的学习中也很为重要。 IV 形式 一般情况下工具变量的要求就是和误差不相关：还可以进一步宽松到(Z^T)X伪逆的情况下：2SLS 形式 第一阶段：第二阶段， 先在X估计上按OLS计算 ：根据第一阶段的结果， 带入X的估计值：化简，得到不含X估计值的表达式：流程总结如下：IV 等价为 2SLS 先看一下， 推导过程中的变化， 从IV到2SLS：其中这里面出现的Pz是投影矩阵，具有如下性质：是不是有点像单位矩阵的性质？对的，这就是投影矩阵。从图形上理解， 由于E(XU) = 0 不成立， 所以需要投影到垂直的方向上去， 一种方法是直接找一个工具变量去做，好比找到一个垂直的面，然后随便确定垂直面上一个， 而另外一种方法，就是先找到一个投影矩阵先， 然后再投影得到这个变量。那么这两种方法有什么本质的差别么？ 有的，工具变量方法(Z^T) X 并不是方阵的时候，也就是两者Rank可能并不一致的时候， 那么这时候两阶段2SLS依然可以使用， 存在一个寻优的过程。 如果一致的情况下， 那么IV和2SLS没有本质的区别。   其实，这也可以看成是矩估计MME和广义矩估计GMM的差异。 如果这么来说的话， 那么2SLS可以看成是IV的一种泛化。 2SLS等价为GLS 从形式上， 2阶段最小二乘法很容易看成是广义最小二乘法。 但是， 这是有要求的，但是含义却完全不一样了。不过，对于自相关的情况下，变换到如下形式后， 计算2SLS还是可以的。这种情况下， 两者是等价的， 只是最后在2SLS里面投影完成后的效果， 和GLS里面标准化之后的效果是一致的。但是两边的X的内容已经完全不一样了， 在2SLS里面是变换过后的X了。 小结： 所以， 一般情况下，尽管2SLS 和 GLS 形式上非常类似， 但是其实解决的问题还是蛮不一样的，2SLS和IV形式上有差距， 但是解决问题还是蛮一致的。  另外也凸显了2SLS强大的能力。 我们通过引入IV、GLS、2SLS的等价性变换的讨论， 让大家更深入了解这些工具的特征。 关键词： Instrumental Variable Generalized Least Square 2 Stage Least Square Alexander Aitken Philip Green Wright Henri Theil 相关话题： 最小二乘法的6个假设 (上篇) 最小二乘法的6个假设 (中篇) 一步一步走向锥规划 - 最小二乘法 最小二乘法的4种求解 回归分析中的问题和修正的探讨（上篇） 回归分析中的问题和修正的探讨（下篇） 评价参数估算的常用指标 最大似然估计的2种论证 Z-Test vs T-Test vs F-Test vs χ2-Test 特征选择， 经典三刀 数据变换 Lasso简史 信息熵的由来 “66天写的逻辑回归” 引 乔丹上海行 随机眼里的临界 参考：

毕业论文的变量是不固定的，一般情况下2至3个变量即可。根据论文的实际需要确定论文的数据变量是最合适的。

第一个是1991年QJE上 Angrist&Krueger 的 Does Compulsory School Attendance Affect Schooling and Earnings? 。这篇论文研究的是一个老问题：教育对收入的影响。我们知道，由于有遗漏变量的问题，直接做OLS回归会有内生性问题。这篇论文考虑到，由于美国的义务教育规定是按年龄限制的，不到一定的年龄就不能离开学校，所以一月出生的人在一月份就可以走了，但六月出生的人必须要在学校待到六月，这样出生月份不一样的人结束教育的时间也不一样，但是他们开始教育的时间都是学校开学的时候。结果出生月份就会影响受教育时间的长短。于是这篇论文就用是否出生在第一季度作为教育时间的工具变量，发现用工具变量的结果和用OLS的结果没有显著区别。这个工具变量后来也受到了一些质疑，因为这是一个弱工具变量，出生月份对受教育时间的影响尽管存在但很小，这样即使出生月份和遗漏变量只有很微弱的相关性，估计结果也会有比较大的偏差。第二个是1990年AER上Angrist的 Lifetime Earnings and the Vietnam Era Draft Lottery: Evidence from Social Security Administrative Records 。这也是他的博士论文工作。这篇论文研究的是参加越战经历对之后收入的影响，这显然也是一个有内生性的问题。作者注意到，国防部征兵的时候是给适龄的男性抽一个号码（Draft Lottery），然后定一个上限，号码小于这个上限的人在征兵范围之内。于是他定义征兵号是否小于这个上限为draft eligibility，显然draft eligibility为1的人更可能参加越战，而这个数字是随机抽的，所以draft eligibility是一个合适的工具变量。这是一个巧妙利用自然实验的例子。最近又知道一个很有意思的。1998年AER的 Angrist&Evans 的 Children and Their Parents' Labor Supply: Evidence from Exogenous Variation in Family Size 。这篇论文研究的是子女数目增加对父母劳动市场参与的影响。这里的问题就是找一个影响子女数目的外生冲击。这方面的研究有的用的是双胞胎，有的用的是流产失败。双胞胎的产生当然一般是随机的，而不是预料到设计出来的，所以这是直接增加子女个数的外生冲击。这篇论文考虑了一个间接增加子女个数的因素，就是头两个孩子的性别构成。这为什么会影响子女数量呢？他们的理论是这样的：父母一般希望子女的性别构成多样化，所以如果头两胎都是男孩或女孩，那么他们就希望再生一个性别不一样的，但如果前两胎一个男孩一个女孩，那性别多样化的任务已经完成了，就不会再生了，所以前两个孩子性别一样的家庭会有更多的子女。我觉得这个思路确实很神奇。总之，找工具变量就是要开动脑筋，大胆联想。