毕达哥拉斯论文研究

关于勾股定理 勾股定理是几何学中的明珠，所以它充满魅力，千百年来，人们对它的证明趋之若骛，其中有著名的数学家，也有业余数学爱好者，有普通的老百姓，也有尊贵的政要权贵，甚至有国家总统。也许是因为勾股定理既重要又简单，更容易吸引人，才使它成百次地反复被人炒作，反复被人论证。1940年出版过一本名为《毕达哥拉斯命题》的勾股定理的证明专辑，其中收集了367种不同的证明方法。实际上还不止于此，有资料表明，关于勾股定理的证明方法已有500余种，仅我国清末数学家华蘅芳就提供了二十多种精彩的证法。这是任何定理无法比拟的。 在这数百种证明方法中，有的十分精彩，有的十分简洁，有的因为证明者身份的特殊而非常著名。 在国外，尤其在西方，勾股定理通常被称为毕达哥拉斯定理．这是由于，他们认为最早发现直角三角形具有“勾2+股2=弦2”这一性质并且最先给出严格证明的是古希腊的数学家毕达哥拉斯（Pythagoras，约公元前580－公元前500）． 实际上，在更早期的人类活动中，人们就已经认识到这一定理的某些特例．除我国在公元前1000多年前发现勾股定理外，据说古埃及人也曾利用“勾三股四弦五”的法则来确定直角．但是，这一传说引起过许多数学史家的怀疑．比如，美国的数学史家M·克莱因教授曾经指出：“我们也不知道埃及人是否认识到毕达哥拉斯定理．我们知道他们有拉绳人（测量员），但所传他们在绳上打结，把全长分成长度为3、4、5的三段，然后用来形成直角三角形之说，则从未在任何文件上得到证实．”不过，考古学家们发现了几块大约完成于公元前2000年左右的古巴比伦的泥版书，据专家们考证，其中一块上面刻有如下问题：“一根长度为30个单位的棍子直立在墙上，当其上端滑下6个单位时，请问其下端离开墙角有多远？”这是一个三边为3:4:5三角形的特殊例子；专家们还发现，在另一块版板上面刻着一个奇特的数表，表中共刻有四列十五行数字，这是一个勾股数表：最右边一列为从1到15的序号，而左边三列则分别是股、勾、弦的数值，一共记载着15组勾股数．这说明，勾股定理实际上早已进入了人类知识的宝库． 证明方法： 先拿四个一样的直角三角形。拼入一个（a+b）的正方形中，中央米色正方形的面积：c2 。图（1）再改变三角形的位置就会看到两个米色的正方形，面积是（a2 ， b2）。图（2）四个三角形面积不变，所以结论是：a2 + b2 = c2 勾股定理的历史： 商高是公元前十一世纪的中国人.当时中国的朝代是西周,是奴隶社会时期.在中国古代大约是战国时期 西汉的数学著作 《周髀 算经》中记录着商高同周公的一段对话.商高说:"…故折矩,勾广三,股修四,经隅五."商高那段话的意思就是说:当直角三角形的两条直角边分别为3(短边)和4(长边)时,径 隅(就是弦)则为5.以后人们就简单地把这个事实说成"勾三股四弦五".这就是著名的勾股定理. 关于勾股定理的发现,《周髀算经》上说:"故禹之所以治天下者,此数之所由生也.""此数"指的是"勾 三股四弦五",这句话的意思就是说:勾三股四弦五这种关系是在大禹治水时发现的. 赵爽： •东汉末至三国时代吴国人 •为《周髀算经》作注,并著有《勾股圆方图说》.赵爽的这个证明可谓别具匠心,极富创新意识.他用几何图形的截,割,拼,补来证明代数式之间的恒 等关系,既具严密性,又具直观性,为中国古代以形证数,形数统一,代数和几何紧密结合,互不可分的 独特风格树立了一个典范.以后的数学家大多继承了这一风格并且代有发展.例如稍后一点的刘徽在证明 勾股定理时也是用的以形证数的方法,只是具体图形的分合移补略有不同而已. 中国古代数学家们对于勾股定理的发现和证明,在世界数学史上具有独特的贡献和地位.尤其是其中 体现出来的"形数统一"的思想方法,更具有科学创新的重大意义.事实上,"形数统一"的思想方法正 是数学发展的一个极其重要的条件.正如当代中国数学家吴文俊所说:"在中国的传统数学中,数量关系 与空间形式往往是形影不离地并肩发展着的......十七世纪笛卡儿解析几何的发明,正是中国这种传统思 想与方法在几百年停顿后的重现与继续." 中国最早的一部数学著作——《周髀算经》的开头,记载着一段周公向商高请教数学知识的对话: 周公问:"我听说您对数学非常精通,我想请教一下:天没有梯子可以上去,地也没法用尺子去一段 一段丈量,那么怎样才能得到关于天地得到数据呢?" 商高回答说:"数的产生来源于对方和圆这些形体的认识.其中有一条原理:当直角三角形'矩' 得到的一条直角边'勾'等于3,另一条直角边'股'等于4的时候,那么它的斜边'弦'就必定是5.这 个原理是大禹在治水的时候就总结出来的。

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毕达哥拉斯学派的美学理论是西方古代美学的开端，西方美学史上的一系列重要范畴如模仿、净化、和谐、比例、观照的形成，是与该学派的数理学科中数学和音乐的研究、以及宗教信仰紧密联系在一起的。遗憾的是，如此重要的美学理论却常常被人忽视。本文试图应用现代美学体系的知识，对该学派的美学理论进行一次有意义的梳理，使该学派的美学理论重新在世人眼中形成体系，重申毕达哥拉斯学派美学理论的重要性。关键词：毕达哥拉斯学派 美学体系 数 和谐一、 关于毕达哥拉斯及其学派毕达哥拉斯（约公元前570——前499年）出生于小亚细亚沿岸希腊人建立的殖民城邦萨摩斯岛。他热衷于研究学术和宗教仪式，曾游历多个国家。40岁时因为不堪忍受当地统治者的残暴，移居到意大利南部城邦克罗岛，在那里建立了一个秘密从事宗教、政治和学术活动的盟会组织，成员大多数是数学家和天文学家。毕达哥拉斯死后，他的门徒奉他为宗师，将他们的思想学说归诸这位宗师，于是就有了毕达哥拉斯学派，并且形成了一个不是纯粹哲学学派，而带有宗教意味的团体。这一学派的活动一直延续到公元前5世纪中叶。如果用最简单的语言来概括毕达哥拉斯学派美学的的内容的话，那就是数的和谐。二、 毕达哥拉斯学派美学理论产生的思想基础1、古希腊最早的哲学流派——米利都学派的自然和谐思想成为毕达哥拉斯学派和谐说的理论先声，成为后者理论的出发点。他们探求了宇宙的物质本源、揭示了宇宙和谐的思想，以哲学的形式托载美学的意韵，把自然的关系、规律、内在结构、运动状态概括为美、以真为美、真美统一，预示了西方古代美学理论的深刻性、理论性特征。2、该学派的美学理论严格来说是属于哲学美学范畴，它主要是建立在数学研究的基础上的，从哲学的角度自上而下地构建美学体系。这点很关键，要真正理解该学派的美学理论，就必须理解毕达哥拉斯及其学派的哲学——美学思想的核心，就是认为“数的本原就是万物的本原”。而为了理解数本原说，要讨论两个相互联系的问题：（1）什么是数；（2）数为什么是万物的本原。对于什么是数这个问题，我们最好不要从现代我们关于数的概念出发，而要直接依据毕达哥拉斯学派的论述。该学派成员菲罗劳斯写道：“由此可见，万物既不仅仅由一种有限构成，又不仅仅由一种无限构成，明显，世界结构和其中的一切都是由无限和有限的结合而形成的，明显的例证是在现实的田野中所看到的情景：田野中由界线（即田埂）组成的一部分限定了地段，由界线和界线以外无限的地段组成的另一部分既限定又不限定地段，而仅仅由无限的空间组成的那些部分则是无限的。”这种有限和无限的结合就是毕达哥拉斯学派所理解的数，并不完全等同于现代科学关于数的抽象概念。无限是不能够被认识的，有限对无限作出限定，被限定的事物可以被认识。数具有认识论意义，他对某个事物作出规定，使它区别于其他事物，从而能够被人的意识和思维所掌握。数是事物生成的原则，是事物的组成原则。按照苏格拉底以前哲学家的说法，数是事物的灵魂。数是一种创造力和生成力。而对于数为什么是万物的本原这个问题。首先是因为该学派认识到万物与数有更多的相似之处。毕达哥拉斯学派所说的万物，已经不是可感的事物，而且包括到正义、理想、灵魂、机会、美等抽象的存在。因此，仅用物质性的元素水、气、火等来解释它们是困难的，只有用抽象的原理才能解释它们。其次，认识到万物之中都存在着某重数量关系。据说毕达哥拉斯是从铁匠铺中铁匠打铁时发出的谐音中得到启发的，通过试验，开始发现音程和弦的频率之间的关系，并把它归结为数，从而认识到数是更高一级的实在。毕达哥拉斯所认识到的数是万物的本原，不仅是从感性的东西、而且也是从非感性的东西的认识中概括出来的。数本身是静止不动的，它是更高一级的实在，从而认为数具有伟大的力量。三、 毕达哥拉斯学派的美本原说该学派成员菲罗劳斯问道：有限和无限是如此不同，它们怎样才能结合在一起形成数呢？它们应该处于什么关系中呢？答案是：它们应该处在和谐的关系之中。所谓和谐，是指一个事物发展到“真“的地步，即它以某中形式确定了自身的界限，形状和尺寸等，从无限的背景中剥离出来。和谐是一种结构，数的结构。它使有限和无限相同一，使事物获得明确的规定性。和谐是从数本原说中自然而然地产生出来的。毕达哥拉斯学派用数的和谐来解释宇宙的构成，创立了宇宙美学理论。其主要内容是”宇宙是最重要的审美对象。审美对象不仅是可以看到的，可以触摸的，而且是造型明确的、几何形状固定的，这一切是由数来安排的。而具体可感的宇宙则是最高的美。这就是毕达哥拉斯美学理论中所包含的美本原说，一切都是围绕数的和谐而展开的。毕达哥拉斯还以为对立也是万物的本原。那么除了数的和谐可以成为美的本原外，可以推导出数的对立也是美的本原。根据亚里士多德的记载，毕达哥拉斯学派中的另一些人说有十对本原：“有限——无限、奇——偶、一——多、右——左、雄——雌、静——动、直——曲、明——暗、善——恶、正方——长方”，并明确规定它们是相反的东西；相反是事物的本原。所以该学派成员菲罗劳斯说：“和谐总是来自对立，因为和谐是不同因素的同一，以及是相反的因素的协调。”这表明该学派的美学思想含有辨证法的因素。他们正是以这种辨证的观点来探讨从个人到国家乃至整个宇宙的和谐。四、 和谐的数量关系与宇宙美的生成机制毕达哥拉斯学派认为，数量关系是先于现实世界而存在，是一种超验的存在，是属于彼岸世界的东西。它为现实是和艺术世界提供原则、数据、模式、范形，使之生成和谐之美。也就是说，在毕达哥拉斯学派那里，此岸是和彼岸世界的同构性、对应性统一，是一种根本性的、整体性的和谐，是审美的极致。而彼岸世界的数的原则、数量关系是神规定的，此岸世界的事物具备协调、适宜的数量关系是神的安排与旨意。在毕达哥拉斯学派的美学理论体系中，神的概念超越数的概念成为最高层次，成为和谐的终极根源。于是，和谐的数量关系就潜在地框架与预定了万物的和谐。这点，其实是在谈万物和数的关系：万物究竟是如何由数派生的？神规定了数，而数又是万物的范型，万物是数的摹本。一定的数目，构成一定数量关系的框架，成为和谐的数目范型，供万物模仿，进而造成万物的贺喜饿。如：5：8的数量关系构成一种和谐的数目范式即黄金分割定律的范式，它物一经模仿就生成了和谐。具有和谐的数量关系的数目范式，作为一种文化的、审美的原型，是先于摹本而存在的，这点与后来柏拉图的理念说说有很大的相似之处。于上，我们可以知道，毕达哥拉斯学派认为：数量关系的和谐是造就一切美、一切和谐事物的普遍规律。自然的、人的、艺术的以及审美主体与审美对象的和谐莫不如是。五、 毕达哥拉斯学派美学的基本审美形态现代美学认为，所谓审美形态就是人在审美实践活动中所创造的境界的感性表现形式与存在状态。在毕达哥拉斯学派的美学体系中，由和谐派生出各种审美形态，使和谐这一本质走向特殊、走向丰富、走向具体，从而不同程度地发展了和谐的一般本质。1、完满。完满是数量关系合理适宜、协调的具体形态，是包含一切又把一切安排得恰当的形体。除了用“10”的数字代表完满外，毕达哥拉斯学派还人圆形、球形是完满的，并依据此说：“一切立体图形中最美的是球形，一切平面图形中最美的是圆形。”2、比例。这是毕达哥拉斯学派对美学的重要贡献。它从和谐的比例的角度，探讨了现代涵义上的艺术问题。和谐的比例的审美本质在于，它说明了部分和整体以及统一的整体中部分与部分之间的关系，只有比例适度，才能构成恰当的数量关系，组成整体的和谐之美，如黄金分割定律在人身体上的应用。而对于毕达哥拉斯学派的比例学说，2世纪怀疑论者恩披里柯作过一个总的说明：“没有比例任何一门艺术都不会存在，而比例在于数中，因此，一切艺术都借助数而产生……于是，雕塑中存在着某种比例，就像在绘画中一样；由于遵受比例，艺术作品获得正确的式样，它们的每一种因素都达到协调。一般说来，每门艺术都是由理解所组成的系统，这个系统是数。因此，“一切模仿数”，也就是说，一切模仿与构成万物的数相同的判断理性，这种说法是恰当的。这就是毕达哥拉斯学派的主张。”3、均衡、对称。毕达哥拉斯学派认为：均衡是事物各部分、诸元素在数量关系上大致相等，分布匀称，有着一种合理的数量关系，因而能生成和谐之美。而身体的美则跟诸如双腿、双手对称有关。4、中和。中和是均衡的一种形态，是达到均衡的一种手段。毕达哥拉斯学派多在道德领域中谈中和，如诗人要公平等信条与主张，这是对古希腊社会的审美理想的反映。5、调和。调和同样既是和谐的一种情态，又是实现和谐的一种手段。在毕达哥拉斯学派那里，调和含有把差异导向同一，把对立导向一致，把无序导向有序，把不协调导向协调的意味。它和均衡、中和、对称一起，成为静态和谐的典型审美形态，代表了毕达哥拉斯学派的和谐说以及古希腊早期和谐说的特色。6、对立组合。对立组合造成矛盾性与统一性匹配均衡的和谐形态。在毕达哥拉斯学派的和谐美学理论体系中，它有着突破静态和谐向动态和谐演进的意味，代表着理论体系的发展方向。7、层次、秩序、主从。如各天体习惯年成丰富的层次和秩序，各按自己的轨道，形成主次分明之意，从而构成和谐之美。8、节奏、韵律。毕达哥拉斯学派认为“高低、长短、大小的声音有序地出现，合理地搭配，习惯年成复杂而协调的数量关系，就构成了音乐的节奏与韵律，生成了和谐乐章。对于其他事物，同样也是这样。