核酸检测的数学小论文

用数学的眼光看世界、用数学的眼光看医学，数学无处不在，核酸检测也不例外！今天我们要跟大家讨论的话题是：从核酸检测的“混检”谈起。         大家知道：核酸检测是尽早发现新冠病毒感染的最有效的途径，在防疫抗疫中具有不可或缺的重要作用，因而，如何及时、准确、高效开展核酸检测就成了我们必须高度关注的重大问题。从数学的角度来看，就是一个实验设计的最优化问题，也就是说：要在最短的时间内、以最少的检测量、花费最少的成本、检测尽可能多的人群。         目前通行的核酸检测方法，有“单检”与“混检”两种：什么是“单检”呢？就是将每个人的采集样本分别放入每个人的专用试管，进行“一对一”的检测，检测的结果谁阴、谁阳、谁是病毒携带者，精准无误；但是，如果需要检测的人数比较多，比如几十万、上百万甚至上千万，“单检”的工作量太大，成本太高，很难及时完成检测工作。         在实际的检测中，经常面临需要检测的人数成千上万甚至更多的情况，只靠“单检”难以胜任。这时候，就需要“混检”，也就是将几个人的采集样本混合后放入同一试管，进行“多对一”的检测，如果检测结果为阴性，那么这几个人就全部通过；如果检测结果为阳性，说明这几人当中有病毒携带者，就需要对这几个人再做进一步检测。         假设某个疫情的地区，有100个“密切接触者”需要核酸检测，已经采集了这100人的核酸样本，如果采用“单检”，需要检测100次；而中低风险地区，病毒的感染率不足1%（也就是说，平均每100个人当中，至多只有1人可能携带新冠病毒），为了检测出这100个人当中的1个病毒携带者，我们花费了成百倍的时间与成本；如果采用“混检”，就可以提高效率、缩短时间、降低成本。         目前国内通行的“1:10均匀混检”是这样的：先把这100人的采集样本依次编号、并按每10人一组均分成10组，1至10号为第一组、11至20号为第二组、……、91至100号为第十组。         然后，对每一组中的10个样本，都分别进行一次“混检”（也就是把10个人的样本混合在一起，作一次检验）；哪一组“混检”结果为阴性，哪一组就一次性全部通过；哪一组“混检”结果为阳性，说明这组10人当中有病毒携带者，就需要对这10个人再分别做一次“单检”。         最乐观的情况是：十个组的“混检”结果都是阴性，100个人的检测全部通过，只花了“单检”十分之一的时间与成本就完成检测工作。         最有可能发生的情况是：十个组的“混检”结果出现了一个组阳性（假设是第二组），其余各组检测结果都是阴性，除第二组10个人之外，其余90个人全部通过检测。         然后，再对“混检”呈阳性的第二组进行一对一的“单检”，就可以精准找出病毒携带者。于是，对这100人的样本，一共检测20次，只花费“单检”五分之一的时间与成本，就完成了同样的检测。换句话说，最大的可能是：“混检”只花“单检”五分之一的时间与成本，就完成同样的检测。         不知道大家是否还记得我们在《晓星说数学：小白鼠试毒问题》中曾经介绍过“实验设计最优化”的一种“二分法”？         从理论上说，目前通行的“均匀混检”，还可以用“二分法”进一步改进为“二分法混检”；采用“二分法混检”最可能的情况是：只花费“单检”七分之一的时间与成本，就完成同样数量的检测。        “二分法混检”的关键，是一步步地将待检测的样本尽可能“对半”分组：仍然假设待检测的样本为100人，将这100人依次编号，并“对半”分组，1至50号为A1组，51至100号为A2组。         然后，A1与A2两组分别进行“混检”……        最理想的情况是：A1与A2两组“混检”结果均为阴性，100人全部通过检测；仅两次就完成了检测工作。         最可能发生的情况是：A1与A2两组“混检”的结果，一组为阴性而另一组为阳性，假设阳性为A1组，A1组还需要继续用“二分法混检”；阴性为A2组，A2组50人全部通过检测。         A1组的“二分法混检”，仍然再对半分组，1至25号为B1组，26至50号为B2组。         然后，B1与B2两组又分别进行“混检”：         上一步检测已知A1组呈阳性，所以这一步B1与B2两组“混检”的结果，不可能出现两组皆阴，最大的可能仍是一阴一阳，假设阳性为B1组，B1组还需要继续用“二分法混检”；而阴性为B2组，B2组25人全部通过检测。         继续对B1组用“二分法混检”，将B1组分成两个尽可能接近的组，1至13号为C1组，14至25号为C2组，对C1与C2又分别进行“混检”，最大的可能仍是一阴一阳，假设阳性为C1组，C1组还需要继续用“二分法混检”；而阴性为C2组，C2组12人全部通过检测。          继续对C1组用“二分法混检”，将C1组分成两个尽可能接近的组，1至7号为D1组，8至13号为D2组，对D1与D2两组又分别进行“混检”，最大的可能仍是一阴一阳，假设阳性为D1组，D1组还需要继续用“二分法混检”；而阴性为D2组，D2组6人全部通过检测。         继续对D1组用“二分法混检”，将D1组分成两个尽可能接近的组，1至4号为E1组，5至7号为E2组，对E1与E2两组又分别进行“混检”，最大的可能仍是一阴一阳，假设阳性为E1组，E1组还需要继续用“二分法混检”；而阴性为E2组，E2组3人全部通过检测。         继续对E1组用“二分法混检”，将E1组中4人均分成两组，1、2两号为F1组，3、4两号为F2组，对F1与F2又分别进行“混检”，最大的可能仍是一阴一阳，假设阳性为F1组，F1组只剩两人，需要继续“单检”；而阴性为F2组， F2组两人全部通过检测。         呈阳性的F1组只剩两人，继续检测只能“单检”，检测结果最大的可能仍是一阴一阳。无论如何，通过六次“二分法混检”与两次“单检”，一共14次检测，我们完成了100人的检测，所花时间与成本仅仅是“单检”的七分之一。         其实，以上的检测方法还可以改进，不需要六次“二分法混检”再来两次“单检”，而是在第五次“二分法混检”之后，紧接着就来四次“单检”，一共也是14次检测，就完成100人的检测。         以上我们所讨论的“1:10均匀混检”与“二分法混检”，有个重要的前提，那就是：已知病毒的感染率不足1%；如果疫情加重，风险等级提高，病毒感染率达到了5%，又应该如何进行核酸检测呢？。限于篇幅，不再赘述，仅留个问题供大家思考：        仍然是100人的采集样本的检测，假设阳性率为5%（即每100人当中最多有5个病毒携带者），现在按“1:5均匀混检”，也就是按每组5个人把这100人均分为20组，请问：应该如何安排“混检”与“单检”，最少需要检测几次？最多需要检测几次？         提示：只需要考虑两种极端情况：（1）5个阳性样本恰好被分在了同一个组；（2）5个阳性样本恰好被分在了五个不同的组。         用数学的眼光看世界、用数学的眼光看医学，数学无处不在，核酸检测也不例外！在核酸检测这样的重大实际问题中，我们再次看到了数学方法的强大威力！