矩阵相似的证明毕业论文

A1与B1相似，所以存在 P使得 B1=P^(-1)A1PA1与B1相似，所以存在 Q使得 B2=Q^(-1)A2Q取R=|P 0| |0 Q|由于R为准对角阵，且P，Q可逆，故R也可逆，且R^(-1)=|P^(-1) 0| |0 Q^(-1)|由R^(-1)|A1 0 |R=|P^(-1) 0| |A1 0 | |P 0|=|P^(-1)A1P 0|=|B1 0| |0 A2| |0 Q^(-1)| |0 A2| |0 Q| |0 Q^(-1)A2Q| |0 B2| 知 |A1 0|与 |B1 0| 相似 |0 A2| |0 B2|

矩阵A与它的转置矩阵有相同的（Jordan）矩阵，所以相似。

若AX=b, A是系数矩阵，假定|A|不等于0，有X=A逆*b

如果A转置，方程组变为A'X=b,此时X=A'逆*b

由于通常A逆跟A'逆是不同的（单位矩阵除外），因此方程组的解X会发生变化。

设矩阵A经过初等行变换之后，化为上三角矩阵B，则A等价于B。

矩阵A'经过初等列变换之后，可化为下三角矩阵C，则A'等价于C。

显然，B的转置矩阵B'=C。

因为，转置之后对角线上的元素不变，所以，B和C的对角线元素相等。

因为，三角形行列式的值等于对角线上元素的乘积。

又因为，|λI-A|=|λI-B|=对角线上元素的乘积。

|λI-A'|=|λI-C|=对角线上元素的乘积。

所以，|λI-A|=|λI-A'|。

所以，矩阵A与矩阵A的转置矩阵的特征值相同。

将A的所有元素绕着一条从第1行第1列元素出发的右下方45度的射线作镜面反转，即得到A的转置。

可从其特征值相同出发。由于行列式按行展开与按列展开是一样的，故：det(sI-A)=det(sI-A)^T=det(sI-A^T);（其中det意思是求行列式），所以A与A^T有相同的特征值，故相似

A与B相似，则A的逆矩阵与B的逆矩阵也相似，A伴随等于A的逆矩阵乘以A的行列式，又因为A的多项式与B的多项式相似，且A的逆矩阵与B的逆矩阵也相似，故A的逆矩阵的多项式与B的逆矩阵的多项式也相似，所以A的逆矩阵乘以A的行列式与B的逆矩阵乘以B的行列式相似，即A伴随相似与B伴随

A，B相似，则存在可逆矩阵P，使得B=P^(-1)AP

则B*=(P^(-1)AP)*=P*A*(P^(-1))*

=P*A*(P*)^(-1)

因此B*与A*相似

n阶矩阵A与对角矩阵相似的充分必要条件为矩阵A有n个线性无关的特征向量。

注： 定理的证明过程实际上已经给出了把方阵对角化的方法。

若矩阵可对角化，则可按下列步骤来实现：

1、 求出全部的特征值；

2、对每一个特征值,设其重数为k,则对应齐次方程组的基础解系由k个向量构成，即为对应的线性无关的特征向量；

3、上面求出的特征向量恰好为矩阵的各个线性无关的特征向量。

扩展资料：

当矩阵的阶数等于一阶时，伴随矩阵为一阶单位方阵。二阶矩阵的求法口诀：主对角线元素互换，副对角线元素加负号。

元素是实数的矩阵称为实矩阵，元素是复数的矩阵称为复矩阵。而行数与列数都等于n的矩阵称为n阶矩阵或n阶方阵。

将一个矩阵分解为比较简单的或具有某种特性的若干矩阵的和或乘积 ，矩阵的分解法一般有三角分解、谱分解、奇异值分解、满秩分解等。

参考资料来源：百度百科--相似矩阵

都可以对角化就说明都与对角阵相似，且特征值相同，说明和同一对角阵相似，由相似的传递性可知，A B相似

线性代数范围，矩阵相似并没给出充要条件，但在可对角化条件下，相似的充要条件是特征值相同