对称矩阵的性质及应用论文答辩

实对称矩阵：如果有n阶矩阵A，其矩阵的元素都为实数，且矩阵A的转置等于其本身（aij=aji）(i,j为元素的脚标)，则称A为实对称矩阵。

主要性质：

1.实对称矩阵A的不同特征值对应的特征向量是正交的。

2.实对称矩阵A的特征值都是实数，特征向量都是实向量。

3.n阶实对称矩阵A必可对角化，且相似对角阵上的元素即为矩阵本身特征值。

4.若λ0具有k重特征值必有k个线性无关的特征向量，或者说必有秩r(λ0E-A)=n-k，其中E为单位矩阵。

扩展资料：

对称矩阵性质：

1.对于任何方形矩阵X，X+XT是对称矩阵。

2.A为方形矩阵是A为对称矩阵的必要条件。

3.对角矩阵都是对称矩阵。

4.两个对称矩阵的积是对称矩阵，当且仅当两者的乘法可交换。两个实对称矩阵乘法可交换当且仅当两者的特征空间相同。

5.用<,>表示  上的内积。n×n的实矩阵A是对称的，当且仅当对于所有X, Y∈  ，  。

6.任何方形矩阵X，如果它的元素属于一个特征值不为2的域（例如实数），可以用刚好一种方法写成一个对称矩阵和一个斜对称矩阵之和：

7.每个实方形矩阵都可写作两个实对称矩阵的积，每个复方形矩阵都可写作两个复对称矩阵的积。

8.若对称矩阵A的每个元素均为实数，A是Hermite矩阵。

9.一个矩阵同时为对称矩阵及斜对称矩阵当且仅当所有元素都是零的时候成立。

10.如果A是对称矩阵,那么AXAT也是对称矩阵。

11.n阶实对称矩阵，是n维欧式空间V（R）的对称变换在单位正交基下所对应的矩阵。

参考资料:百度百科----实对称矩阵

一． 定义 因为正定二次型与正定矩阵有密切的联系，所以在定义正定矩阵之前，让我们先定义正定二次型: 设有二次型 ,如果对任何x 0都有f(x)>0( 0) ，则称f(x) 为正定（半正定）二次型。 相应的，正定（半正定）矩阵和负定（半负定）矩阵的定义为： 令A为 阶对称矩阵，若对任意n 维向量 x 0都有 ＞0(≥0)则称A正定（半正定）矩阵；反之，令A为n 阶对称矩阵，若对任意 n 维向量 x≠0 ,都有 ＜0（≤ 0）， 则称A负定（半负定）矩阵。 例如，单位矩阵E 就是正定矩阵。 二． 正定矩阵的一些判别方法 由正定矩阵的概念可知，判别正定矩阵有如下方法： 1.n阶对称矩阵A正定的充分必要条件是A的 n 个特征值全是正数。 证明：若 ， 则有 ∴λ＞0 反之，必存在U使 即 有 这就证明了A正定。 由上面的判别正定性的方法，不难得到A为半正定矩阵的充要条件是：A的特征值全部非负。 2．n阶对称矩阵A正定的充分必要条件是A合同于单位矩阵E。 证明：A正定 二次型 正定 A的正惯性指数为n 3．n阶对称矩阵A正定（半正定）的充分必要条件是存在 n阶可逆矩阵U使 ；进一步有 （B为正定（半正定）矩阵）。 证明：n阶对称矩阵A正定，则存在可逆矩阵U使 令 则 令 则 反之， ∴A正定。 同理可证A为半正定时的情况。 4．n阶对称矩阵A正定，则A的主对角线元素 ，且 。 证明：（1）∵n阶对称矩阵A正定 ∴ 是正定二次型 现取一组不全为0 的数0,…,0,1,0…0(其中第I个数为1)代入，有 ∴ ∴A正定 ∴存在可逆矩阵C ，使 5．n阶对称矩阵A正定的充分必要条件是：A的 n 个顺序主子式全大于零。 证明：必要性： 设二次型 是正定的 对每个k,k=1,2,…,n,令 ， 现证 是一个k元二次型。 ∵对任意k个不全为零的实数 ，有 ∴ 是正定的 ∴ 的矩阵 是正定矩阵 即 即A的顺序主子式全大于零。 充分性： 对n作数学归纳法 当n=1时， ∵ ， 显然 是正定的。 假设对n-1元实二次型结论成立，现在证明n元的情形。 令 ， ， ∴A可分块写成 ∵A的顺序主子式全大于零 ∴ 的顺序主子式也全大于零 由归纳假设， 是正定矩阵即，存在n-1阶可逆矩阵Q使 令 ∴ 再令 ， 有 令 ， 就有 两边取行列式，则 由条件 得a＞0 显然 即A合同于E ， ∴A是正定的。 三． 负定矩阵的一些判别方法 1．n阶对称矩阵A是负定矩阵的充分必要条件是A的负惯性指数为n。 2．n阶对称矩阵A是负定矩阵的充分必要条件是A的特征值全小于零。 3．n阶对称矩阵A是负定矩阵的充分必要条件是A的顺序主子式 满足 ， 即奇数阶顺序主子式全小于零，偶数阶顺序主子式全大于零。 由于A是负定的当且仅当-A是正定的，所以上叙结论不难从正定性的有关结论直接得出，故证明略。 四．半正定矩阵的一些判别方法 1． n阶对称矩阵A是半正定矩阵的充分必要条件是A的正惯性指数等于它的秩。 2． n阶对称矩阵A是半正定矩阵的充分必要条件是A的特征值全大于等于零，但至少有一个特征值等于零。 3． n阶对称矩阵A是负定矩阵的充分必要条件是A的各阶主子式全大于等于零，但至少有一个主子式等于零。 注：3中指的是主子式而不是顺序主子式，实际上，只有顺序主子式大于等于零并不能保证A是半正定的，例如： 矩阵 的顺序主子式 ， ， ， 但A并不是半正定的。 关于半负定也有类似的定理，这里不再写出。

不同特征值的特征向量两两正交