因式分解的方法研究论文答辩

导语：因式分解的常用方法，还有很多方法都很不错，也能对我们的数学能力进行拓展，例如十字相乘法等等。我们在学习初中数学因式分解的时候，一定要多做题，题海战术虽然饱受诟病，但是对于初中数学确实是理解和熟练知识点的最佳途径，当然要适量，不可疲劳战，这是为了保持对学习的浓厚兴趣，长此以往，养成习惯，你会发现数学这么简单。

因式分解的步骤

1、提公因式;

2、公式法(完全平方式、平方差公式)。

初中数学因式分解常用解法有哪些提公因式法

① 公因式： 各项都含有的公共的因式叫做这个多项式各项的～.

② 提公因式法 ：一般地，如果多项式的各项有公因式，可以把这个公因式提到括号外面，将多项式写成因式乘积的形式，这种分解因式的方法叫做提公因式法.

am+bm+cm=m(a+b+c)

③ 具体方法： 当各项系数都是整数时，公因式的系数应取各项系数的最大公约数;字母取各项的相同的字母，而且各字母的指数取次数最低的.如果多项式的第一项是负的，一般要提出“-”号，使括号内的第一项的系数是正的.

初中数学因式分解常用解法有哪些

运用公式法

①平方差公式：.a^2-b^2=(a+b)(a-b)

②完全平方公式：a^2±2ab+b^2=(a±b)^2

※能运用完全平方公式分解因式的多项式必须是三项式，其中有两项能写成两个数(或式)的平方和的形式，另一项是这两个数(或式)的积的2倍.

分组分解法

分组分解法：把一个多项式分组后，再进行分解因式的方法.

分组分解法必须有明确目的，即分组后，可以直接提公因式或运用公式.

拆项、补项法

拆项、补项法：把多项式的某一项拆开或填补上互为相反数的两项(或几项)，使原式适合于提公因式法、运用公式法或分组分解法进行分解;要注意，必须在与原多项式相等的原则进行变形.

※多项式因式分解的一般步骤：

①如果多项式的各项有公因式，那么先提公因式;

②如果各项没有公因式，那么可尝试运用公式、十字相乘法来分解;

③如果用上述方法不能分解，那么可以尝试用分组、拆项、补项法来分解;

④分解因式，必须进行到每一个多项式因式都不能再分解为止。

配方法： 对于那些不能利用公式法的多项式，有的可以利用将其配成一个完全平方式，然后再利用平方差公式，就能将其因式分解。

换元法 ：有时在分解因式时，可以选择多项式中的相同的部分换成另一个未知数，然后进行因式分解，最后再转换回来。

待定系数法： 首先判断出分解因式的形式，然后设出相应整式的字母系数，求出字母系数，从而把多项式因式分解。

扩展资料：

因式分解（英语：factorization，factorisation或factoring）是指把一个多项式分解为两个或多个的因式的过程，分解过后会得出一堆较原式简单的多项式的积。例如多项式x-4可被分解为(x+2)(x-2)。

基本概念

定义

把一个多项式在一个范围化为几个整式的积的形式，这种式子变形叫做这个多项式的因式分解，也叫作把这个多项式分解因式。

因式分解是中学数学中最重要的恒等变形之一，它被广泛地应用于初等数学之中，在数学求根作图、解一元二次方程方面也有很广泛的应用，是解决许多数学问题的有力工具。

因式分解方法灵活，技巧性强。学习这些方法与技巧，不仅是掌握因式分解内容所必需的，而且对于培养解题技能、发展思维能力都有着十分独特的作用。学习它，既可以复习整式的四则运算，又为学习分式打好基础；学好它，既可以培养学生的观察、思维发展性、运算能力，又可以提高综合分析和解决问题的能力。

相关结论

基本结论：分解因式与整式乘法为相反。

高级结论：在高等数学上因式分解有一些重要结论，在初等数学层面上证明很困难，但是理解很容易。

1）因式分解与解高次方程有密切的.关系。对于一元一次方程和一元二次方程，初中已有相对固定和容易的方法。在数学上可以证明，对于一元三次方程和一元四次方程，也有固定的公式可以求解。只是因为公式过于复杂，在非专业领域没有介绍。对于分解因式，三次多项式和四次多项式也有固定的分解方法，只是比较复杂。对于五次以上的一般多项式，已经证明不能找到固定的因式分解法，五次以上的一元方程也没有固定解法。

2）所有的三次和三次以上的一元多项式在实数范围内都可以因式分解，所有的二次或二次以上的一元多项式在复数范围内都可以因式分解。这看起来或许有点不可思议。比如x+1,这是一个一元四次多项式，看起来似乎不能因式分解。但是它的次数高于3，所以一定可以因式分解。也可以用待定系数法将其分解，只是分解出来的式子并不整洁。(这是因为，由代数基本定理可知n次一元多项式总是有n个根，也就是说，n次一元多项式总是可以分解为n个一次因式的乘积。并且还有一条定理：实系数多项式的虚数根两两共轭的，将每对共轭的虚数根对应的一次因式相乘，可以得到二次的实系数因式，从而这条结论也就成立了。)

3）因式分解虽然没有固定方法，但是求两个多项式的公因式却有固定方法。因式分解很多时候就是用来提公因式的。寻找公因式可以用辗转相除法来求得。标准的辗转相除技能对于中学生来说难度颇高，但是中学有时候要处理的多项式次数并不太高，所以反复利用多项式的除法也可以但比较笨，不过能有效地解决找公因式的问题。

4）因式分解是很困难的，初中所接触的只是因式分解很简单的一部分。

分解一般步骤

1、如果多项式的首项为负，应先提取负号；

这里的“负”，指“负号”。如果多项式的第一项是负的，一般要提出负号，使括号内第一项系数是正的。

2、如果多项式的各项含有公因式，那么先提取这个公因式，再进一步分解因式；

要注意：多项式的某个整项是公因式时，先提出这个公因式后，括号内切勿漏掉1；提公因式要一次性提干净，并使每一个括号内的多项式都不能再分解。

3、如果各项没有公因式，那么可尝试运用公式、十字相乘法来分解；

4、如果用上述方法不能分解，再尝试用分组、拆项、补项法来分解。

口诀：先提首项负号，再看有无公因式，后看能否套公式，十字相乘试一试，分组分解要合适。

原则

1、分解因式是多项式的恒等变形，要求等式左边必须是多项式。

2、分解因式的结果必须是以乘积的形式表示。

3、每个因式必须是整式，且每个因式的次数都必须低于原来多项式的次数。

4、结果最后只留下小括号，分解因式必须进行到每一个多项式因式都不能再分解为止；

5、结果的多项式首项一般为正。在一个公式内把其公因子抽出，即透过公式重组，然后再抽出公因子；

6、括号内的首项系数一般为正；

7、如有单项式和多项式相乘，应把单项式提到多项式前。如(b+c)a要写成a(b+c)；

8、考试时在没有说明化到实数时，一般只化到有理数就够了，有说明实数的话，一般就要化到实数。

口诀：首项有负常提负，各项有“公”先提“公”，某项提出莫漏1，括号里面分到“底”。

分解方法

因式分解主要有十字相乘法，待定系数法，双十字相乘法，对称多项式，轮换对称多项式法，余式定理法等方法，求根公因式分解没有普遍适用的方法，初中数学教材中主要介绍了提公因式法、运用公式法、分组分解法。而在竞赛上，又有拆项和添减项法式法，换元法，长除法，短除法，除法等。

因式分解的方法和技巧：十字相乘法，双十字相乘法，提公因式法，因式定理法等。

1、十字相乘法

具体方法：十字左边相乘等于二次项系数，右边相乘等于常数项，交叉相乘再相加等于一次项。

口诀：分二次项，分常数项，交叉相乘求和得一次项。(拆两头，凑中间)。

特点：

(1)二次项系数是1。

(2)常数项是两个数的乘积。

(3)一次项系数是常数项的两因数的和。

基本步骤：

(1)把二次项系数和常数项分别分解因数。

(2)尝试十字图，使经过十字交叉线相乘后所得的数的和为一次项系数。

(3)确定合适的十字图并写出因式分解的结果。

(4)检验。

2、双十字相乘法

一般步骤：

(1)用十字相乘法分解二次项（ax2 + bxy+ cy2），得到一个十字相乘图（有两列）。

(2)把常数项f分解成两个因式填在第三列上，要求第二、第三列构成的十字交叉之积的和等于原

式中的ey，第一、第三列构成的十字交叉之积的和等于原式中的dx。

(3)先以一个字母的一次系数分数常数项。

(4)再按另一个字母的一次系数进行检验。

(5)横向相加，纵向相乘。

3、提公因式法

如果一个多项式的各项有公因式，可以把这个公因式提出来，从而将多项式化成两个因式乘积

的形式，这种分解因式的方法叫做提公因式法。

各项都含有的公共的因式叫做这个多项式各项的公因式。公因式可以是单项式，也可以是多项式。

具体方法：在确定公因式前，应从系数和因式两个方面考虑。当各项系数都是整数时，公因式

的系数应取各项系数的最大公约数字母取各项的相同的字母，而且各字母的指数取次数最低

的。当各项的系数有分数时，公因式系数为各分数的最大公约数。如果多项式的第一项为负，

要提出负号，使括号内的第一项的系数成为正数。提出负号时，多项式的各项都要变号。

基本步骤：

(1)找出公因式。

(2)提公因式并确定另一个因式。

①找公因式可按照确定公因式的方法先确定系数再确定字母。

②提公因式并确定另一个因式，注意要确定另一个因式，可用原多项式除以公因式，所得的商

即是提公因 式后剩下的一个因式，也可用公因式分别除去原多项式的每一项，求的剩下的另一

个因式。

③提完公因式后，另一因式的项数与原多项式的项数相同。

口诀：找准公因式，一次要提尽，全家都搬走，留1把家守，提负要变号，变形看奇偶。

4、因式定理法

根据因式定理，用求多项式的根来确定多项式的一次因式，从而对多项式进行因式分解的方法

叫做因式定理法。

具体方法:根据因式定理(若a是一元多项式f(x)的根，即f(a)=0成立，则多项式f(x)有一个因式x一

a)，找出一元多项式f(x)的一次因式的关键是求多项式f(x)的根，对于任意多项式f(x)，要求出它

的根是没有一般方法的，然而当多项式f(x)的系数都是整数时，即整系数多项式时，若既约分数

q/p是整系数多项式f(x)= AgX"+A|X 1 +...+ An-1X+A的根，则必有P是ao的约数，4是an的

约数。特别地，当ag=时，整系数多项式f(x)的整数根均为an的约娄数。

注意:

(1)对于系数全部是整数的多项式，若X=q/p(为互质整数时)该多项式值为零，则q为常数项约数，p最高次项系数约娄。

(2)对于多项式f(a)=0，b为最高次项系数，c为常数项，则有a为c/b约数。