微分和导数的毕业论文

新年好！Happy Chinese New Year ！下面用我以前给别的网友的回答，解答一下你的问题，提供三个角度的认识，希望能对楼主是个启发，类似的例子举不胜举，同样，我们教学中的误导也是举不胜举、罄竹难书。第一方面：不用任何专业术语,只用日常生活的比喻来大概说明一下微积分的原理。一、微分的思想：从上海到拉萨的平均坡度是多少？（高度比上距离）从成都到拉萨的平均坡度是多少？从古玉到拉萨的平均坡度是多少？从墨脱到拉萨的平均坡度是多少？从大丁卡到拉萨的平均坡度是多少？...............................距离越来短，从大范围的平均坡度，到小范围内平均坡度，到很小很小距离内的平均坡度，.........，一直这样无止境的下去，最后得到一个点的坡度值。你的头发，在过去的十年中，平均每秒长多长？在过去的一年中，平均每秒长多长毫米？在过去的半年中，平均每秒长多长毫米？在过去的一个月中，平均每秒长多长毫米？在过去的一星期中，平均每秒长多长毫米？在过去的12小时中，平均每秒长多长毫米？在过去的10分钟内，平均每秒长多长毫米？在过去的10秒内， 平均每秒长多长毫米？在过去的秒内，平均生长速度(仍然按米每秒表示)？在过去的秒内，平均生长速度(仍然按米每秒表示)？在过去的秒内，平均生长速度(仍然按米每秒表示)？在过去的秒内，平均生长速度(仍然按米每秒表示)？..........................................................这样从平均增长速度算到了瞬时增长速度。以上两例就是微分。二、积分的思想：在一张绘图纸上，画一个圆(半径250px)，绘图纸的小方格是25px×25px，估算圆的面积；绘图纸的小方格是×，估算圆的面积；绘图纸的小方格是×，估算圆的面积；绘图纸的小方格是×，估算圆的面积；绘图纸的小方格是×，估算圆的面积；绘图纸的小方格是×，估算圆的面积；绘图纸的小方格是×，估算圆的面积；..................................................................这样的估计越来越准确。将一条曲线分成10段，将每每一段的直线距离加起来；将该曲线分成100段，将每每一段的直线距离加起来；将该曲线分成10000段，将每每一段的直线距离加起来；将该曲线分成1000000段，将每每一段的直线距离加起来；将该曲线分成100000000段，将每每一段的直线距离加起来；将该曲线分成10000000000段，将每每一段的直线距离加起来；将该曲线分成1000000000000段，将每每一段的直线距离加起来；将该曲线分成100000000000000段，将每每一段的直线距离加起来；将该曲线分成10000000000000000段，将每每一段的直线距离加起来；............................................................这样算出的长度当成曲线的长度越来越准确。以上两例就是积分思想。微积分 = 微分 + 积分第二方面：微积分是什么？微积分= 微分 + 积分Calculus = Differentiation + Integration 一、微分1、微分的思想： 微分，就是微小的划分，细而微之。 思想的演化： difference(差别) ⇒differentiate (划分) ⇒differentiation(微分) 2、微分的方法： A、对任何曲线上的任意两点的连线，计算该连线的斜率，这是一个平均斜率的概念； B、将这两个点无止境地靠近，用计算极限的方法，算出图形上一个任意点处的斜率； C、因为点的选取是任意的，所以就得到了一个新的函数，通过新的函数就可以计算 原来曲线上每一个点的斜率，也就是可以得到原来函数整体变化规律的新的函数， 这个新函数我们给他起名为导函数，简称导数(derivativefunction)，原来的函数 称为原函数(antiderivativefunction，意思就是originalfunction，只是鬼子不喜欢 用 original这个词)，derivative是导出、派生、衍生的意思，anti-是反其道而行之、 反向追溯、追根溯源的意思； D、对这个新的函数，运用同样的方法，可以进一步得到导函数的导数，我们称它为 二阶导函数，简称二阶导数(secondderivative function)。以此类推。 3、微分的意义： 微分的意义实在太广、太普遍，写上千万本书也只是沧海一粟，挂一漏万。 下面举三个简单的例子： A、纯粹几何图形上的意义： 一阶导数可以计算图形的切线、法线的斜率(gradient)； 一阶导数、二阶导数结合起来可以研究图形的极值问题(optimization,extrema)； 图形的凹凸性(Concativity)、连续性(Continuity)。 B、运动学上的意义： 位置矢量的一阶导数是速度是矢量，二阶导数是加速度矢量。 C、电磁学上的意义： 电量的导数可以计算电流强度，电流强度的导数可以计算感生电动势。 二、积分1、积分的思想： 积分，就是求和，就是积而广之。 思想的演化： Summation for finiteterms (有限项的求和)⇒ Summation for infiniteterms (无限项的求和)⇒ Summation for infiniteterms with infinitesimal values (无限项无穷小的求和)⇒ Integral / Integration /Intigrating (积分)。 2、积分的方法： A、无限分割(endlesslydividing, division with infinite process)； B、求和，把无限分割出来的任意小块求和，通过计算极限的方法，得到一个 结果：如果是在确定的区间上分割求和，得到的就是一个值； 如果是在不确定的区间上分割求和，得到的是一个新的函数。 C、这个新的函数就是导函数，antiderivativefunction； D、对导函数还可以继续不断地积分。 3、积分的意义： 同样地，积分的意义充满着整个自然科学、工程科学的各个学科，无法一一罗列。 下面同样列举三个例子： A、纯粹几何图形上的意义： 计算任何曲线的长度；任何图形的面积；任何物体的体积。 B、运动学上的意义： 通过加速度计算速度，通过速度计算位移。 D、电磁学上的意义： 计算电场强度分布；计算电势分布；计算磁感应强度分布；计算电磁场能量； 计算感生电动势等等。第三方面：具体极限的例子说明为了说明清楚，下面的解答中，会有一些英文，希望不引起楼主的反感。1、极限，limit，limitation我们汉语中的翻译、汉语的理解，过于注重了“限”，把极限理解成了单纯的“限制”。例如：身体的极限，体能的极限，、、、都是在强调一个不可逾越的限制；又如：当x→∞时，y = 1 - 1/x 的极限是1。也就是说y永远超不过1的限制。汉语的这种翻译，不能算错，但是也不全对，因为我们忽略了另外一个方面，那就是“tendency”，就是趋势，一个从过程方面考虑的事情，也就是一个不断的“趋近”过程，趋近=approach。 = 1，严格来说，对吗？不对！这是大家都不假思索的回答。 = 1，严格来说，对吗？不对！这也是大家都不假思索的回答。 = 1，严格来说，对吗？不对！这还是大家都不假思索的回答。..... = 1，严格来说，对吗？不对！这仍是大家都不假思索的回答。那么1÷3 = ？绝大部分人会异口同声地说：...................欢呼雀跃的时候，很少会忧心忡忡。绝大部分人不会想到我们的运算逻辑已经出了问题！我们平时陶醉于“悠久、文明、勤劳、勇敢、聪明、、、、”，绝不会反向思考是一样的，我们的文化没有质疑精神，我们文化没有定量成分，我们的文化没有精益求精的本能。所以，就出现了上面的情况。上面的问题，可以概括起来说，就是一个问题：的循环是大约等于1？还是严格等于1，没有丝毫的误差？如果你的回答是大约等于，非常近似的等于1，那么你就是一个正常的人；如果你的回答是严格等于1，那么恭喜你，你是一个了不起的人，已经超凡脱俗！因为你认为是严格等于1，你已经不是传统中国人的思维了，如果你早生几百年，咱们中国的科学研究，就不会这么糟糕，这么落后，这么下里巴人、愚昧不堪了。可惜，你迟生了几百年。古代的中国与西方，尤其是地中海沿岸的国家，彼此彼此；现代的中国科学严重落后，就是从极限理论开始的。我们有诡辩学，他们有paradox，结果，我们摇头晃脑地几百年，没有丝毫长进，时至今时今日，我们的学者砖家们，这样的人依然是“主流”。人家由此建立了微积分，有了文艺复兴，有了工业革命。而我们，依然如斯，下里巴人一群，在现代的数学理论上、科学理论上，没有丝毫的发言权。而且摆明了不想有发言权，看看现在的教课书就明白，我们胡搅蛮缠的东西一大堆，就可以明白，我们很多人的性格是破罐子破摔，赶超国际，那是几百年后的梦想了。所以，楼主加加油，或许你能悟出什么。2、无穷大，infinity上面讲了，极限是一个过程，我们过多的强调了极限的“限”，过于眼高手低地忽略了过程的tendency，trend，approaches，所以，我们没有能力建立微积分理论。因为极限是一个过程，是无止境地趋向于一个值，这个值是定值，我们就说有极限。例一：当x→3时，x²→9。 就是说，当x无止境地趋向于3时， x²就无止境的趋向9。例二：当x→0时，sinx→0，(sinx)/x→1。就是说，当x无止境地趋向于0时， sinx也无止境的趋向0， sinx/x的比值却趋向于1。 分母虽然不能为0，但可以无止境地趋向于0，比值居然是一个非0非无穷的数！ 就凭这一点，就超出了我们的集体想象能力， 那七个不定式更是超出了我们的集体的智能， 后面随之而来的一大堆理论，完全超出了我们的集体智商， 我们连理解都困难重重，更遑论从无到有地系统建立起来？ 今时今日，很多被民脂民膏养得脑满肠肥的教授们，依然在竭尽误导之能事。极限存在，是指有一个固定的值，这个值是函数可能达到的，也可能是无限趋近的；无穷大，不是一个具体的数，所以，趋向于无穷大，就是不存在极限。由于我们的懒惰成性、成癖，我们依然谁说它的极限是无穷大。极限不存在，是指四个意思：1、没有一个具体的值，例如∞，是越来越大，无止境地大下去，就是极限不存在；2、虽然没有→∞，但一直在波动，如sinx，永远在±1之间波动，那么极限不存在；3、左右极限可能一则存在，一侧不存在，那么我们说极限不存在；4、两侧极限可能都存在，但两侧极限不相等，那么我们还是说极限不存在。