矩阵的秩论文参考文献

低秩矩阵说的就是矩阵的秩比较小的情况！假设已知矩阵C，矩阵的低秩分解研究的就是找到一个秩比较小的矩阵C’，使得C-C'的F范数满足一个阈值的约束！SVD分解就属于低秩分解的一种方法！

一个向量空间（A），不可能通过线性变换使其维数升高（r（BA）≤minr（B）r（A）），一如孤立系统中无法降低的熵。把向量空间看成广义系统，无法降低的熵表示其混乱程度，则无法升高的rank，就表示混乱的对立面（秩）。

low-rank matrix是低秩矩阵。矩阵的秩，需要引入矩阵的SVD分解：X=USV'，U,V正交阵，S是对角阵。如果是完全SVD分解的话，那S对角线上非零元的个数就是这个矩阵的秩了（这些对角线元素叫做奇异值），还有些零元，这些零元对秩没有贡献。1.把矩阵当做样本集合，每一行（或每一列，这个无所谓）是一个样本，那么矩阵的秩就是这些样本所张成的线性子空间维数。如果矩阵秩远小于样本维数（即矩阵列数），那么这些样本相当于只生活在外围空间中的一个低维子空间，这样就能实施降维操作。举个例子，同一个人在不同光照下采得的正脸图像，假设每一张都是192x168的，且采集了50张，那构成的数据矩阵就为50行192x168列的，但是如果你做SVD分解就会发现，大概只有前10个奇异值比较大，其他的奇异值都接近零，因此实际上可以将接近零的奇异值所对应的那些维度丢掉，只保留前10个奇异值对应的子空间，从而将数据降维到10维的子空间了。2.把矩阵当做一个映射，既然是映射，那就得考虑它作用在向量x上的效果Ax。注意Ax相当于A的列的某个线性组合，如果矩阵是低秩的，这意味着这些列所张成的空间是外围空间的一个低维子空间，这个空间由Ax表达（其中x任意）。换句话说，这个矩阵把R^n空间映射到R^m空间，但是其映射的像只在R^m空间的一个低维子空间内生活。从SVD理解的话，Ax=USV'x，因此有三个变换：第一是V'x，相当于在原始的R^n空间旋转了一下坐标轴，这样只是坐标的变化，不改变向量本身（例如长度不变）；第二是S(V'x)，这相当于沿着各个坐标轴做拉伸，并且如果S的对角线上某些元素为零，那么这些元素所对应的那些坐标轴就相当于直接丢掉了；最后再U(SV'x)，还是一个坐标轴旋转。总的来看，Ax就相当于把一个向量x沿着某些特定的方向做不同程度的拉伸（附带上一些不关乎本质的旋转），甚至丢弃，那些没被丢弃的方向个数就是秩了。

低秩矩阵rank就是指矩阵的秩啊，low-rank matrix可能是指秩比较小的矩阵

小秩矩阵(low-rank matrix)在核方法和抽样中，可有效地减小计算开销。也可称作“低秩矩阵”。

两个矩阵相乘可能使某一行或者某一列为零，从而是秩减小，但是原来是零的一行或者一列乘过以后还是零，所以秩不可能增大，只会不变或者减小。

证：由于K是满秩方阵，因此可逆，存在K逆，等式两边同时左乘K逆，得

K逆( )=( )，第一个括号里是beta那个向量组，第二个括号里是alpha那个向量组

这样就说明alpha那个向量组可由beta那个向量组线性表示，因此两向量组可以互相线性表示，所以两向量组等价，由于等价向量组秩相同，因此beta那个向量组的秩也是s，因此beta向量组线性无关。

扩展资料：

在线性代数中，一个矩阵A的列秩是A的线性独立的纵列的极大数目。类似地，行秩是A的线性无关的横行的极大数目。即如果把矩阵看成一个个行向量或者列向量，秩就是这些行向量或者列向量的秩，也就是极大无关组中所含向量的个数。

定理：矩阵的行秩，列秩，秩都相等。

定理：初等变换不改变矩阵的秩。

定理：如果A可逆，则r(AB)=r(B),r(BA)=r(B)。

定理：矩阵的乘积的秩Rab<=min{Ra,Rb};

参考资料来源：百度百科-矩阵的秩